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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 全国名校高考专题训练8-圆锥曲线解答题3(数学)
本资料来源于《七彩教育网》圆锥曲线三、解答题(第三部分)51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线l过椭圆E:2222xy的右焦点F,且与E相交于,PQ两点.(1)设1()2OROPOQ(O为原点),求点R的轨迹方程;(2)若直线l的倾斜角为60°,求11||||PFQF的值.解:(1)设1122(,),(,),(,)PxyQxyRxy112211()(,)[(,)(,)]22OROPOQxyxyxy121222xxxyyy由22222212xxyy,易得右焦点(1,0)F----------(2分)当直线lx轴时,直线l的方程是:1x,根据对称性可知(1,0)R当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为(1)ykx代入E有2222(21)4220kxkxk2880k;2122421kxxk----(5分)于是(,):Rxyx21222221xxkk;(1)ykx消去参数k得2220xyx而(1,0)R也适上式,故R的轨迹方程是2220xyx-(8分)(2)设椭圆另一个焦点为'F,在'PFF中0'120,|'|2,PFFFF设||PFm,则|'|22PFm由余弦定理得2220(22)222cos120mmm2221m同理,在'QFF,设||QFn,则|'|22QFm也由余弦定理得2220(22)222cos60nnn2221n于是111122122122||||22PFQFmn---------(12分)52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,点A在双曲线的右支上,点B在双曲线左准线上,.,22OBOAOAOFABOF(1)求双曲线的离心率e;PQoxyF(2)若此双曲线过C(2,3),求双曲线的方程;(3)在(2)的条件下,D1、D2分别是双曲线的虚轴端点(D2在y轴正半轴上),过D1的直线l交双曲线M、N,lNDMD求直线,22的方程。解:(1),2ABOF四边形F2ABO是平行四边形0,0)(22BFOAOBOFOA即,2BFOA∴四边形F2ABO是菱形.∴.||||||22cOFAFAB由双曲线定义得||||,2||11ABAFecaAF,122ecca,022ee)1(2舍去ee(2),2ace223,2abac,双曲线方程为,132222ayax把点C)3,2(代入有,3.1334222aaa∴双曲线方程.19323yx(3)D1(0,-3),D2(0,3),设l的方程为),(),,(,32211yxNyxMkxy则由0186)3(19332222kxxkyxkxy因l与与双曲线有两个交点,.3k221221318,36kxxkkxx99)(3,3186)(212122122121xxkxxkyykxxkyy,),3,(),3,(22222112NDMDyxNDyxMD09)(3112121yyyyxx,5.0931839318222kkk即.5k故所求直线l方程为3535xyxy或53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x2=2py(p0)的焦点F,并与其相交于A、B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.(1)求MN·MB的取值范围;(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点.求证:MN·OF=0,NQ∥OF.54、设圆满足:(1)截直线y=x所得弦长为2;(2)被直线y=-x分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的14倍.在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程.解:设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,则P到直线y=x、直线y=-x的距离分别为2ba、2ba.………(2分)由题设知圆P截直线y=-x所得劣弧所对圆心角为90°,圆P截直线y=-x所得弦长为2r,故r2=222r(2ba)2,即r2=(a+b)2,……………………(4分)又圆P截直线y=x所得弦长为2,所以有r2=1+2)(2ba,从而有2262aabb.……………………(6分)又点P到直线x+3y=0的距离为d=103ba,所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2……………………(8分)当且仅当b=0时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值,由此有a=±2,r=2.…………(10分)于是所求圆的方程为(x-2)2+y2=2或(x-2)2+y2=2…………(12分)55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆+y2=l的左焦点为F,O为坐标原点.(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点,并且线段AB的中点在直线x+y=0上,求直线AB的方程.56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知)0,3(P,点R在y轴上,点Q在x的正半轴上,点M在直线RQ上,且0RMPRMQRM23,.(1)当R在y轴上移动时,求M点轨迹C;(2)若曲线C的准线交x轴于N,过N的直线交曲线C于两点AB,又AB的中垂线交x轴于点E,求E横坐标取值范围;(3)在(2)中,ABE能否为正三角形.解:(1)设MQRMyxM23),(11则由得)28,0(R又由0RMPR得.0)23,).(28,3(yx即xy42…………………………4分(2)由(1)知N(-1,0)设得:)1(xky由0)2(2)1(.422222kxkxkxkyxy得由0102kk且得设),(),,(2211yxByxA对kxxkyykkkxx4)2(221212221∴AB的中点为)2,2(22kkk∴AB的中点为)2(1222kkxkky令312020kxy得即x0>3.57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线220xpyp上的两个动点,O为坐标原点,非零向量,OAOB满足OAOBOAOB.(Ⅰ)求证:直线AB经过一定点;(Ⅱ)当AB的中点到直线20yx的距离的最小值为255时,求p的值.解:OAOBOAOB,OAOB.设A,B两点的坐标为(11,xy),(22,xy)则2211222,2xpyxpy.(1)经过A,B两点的直线方程为211211()()()().xxyyyyxx由221212,22xxyypp,得22212111()()()().22xxxxyyxxpp211211()2xxxxyyxxp.令0x,得2111()2xxyyxp,122xxyp.12120,OAOBxxyy从而221212204xxxxp.120xx(否则,,OAOB有一个为零向量),2124xxp.代入①,得2yp,AB始终经过定点0,2p.……………(6分)(2)设AB中点的坐标为(,xy),则12122,2,xxxyyy22121212222()xxpypypyy.又2222212121212()2()8xxxxxxxxp,22484xppy,即212yxpp.……………①AB的中点到直线20yx的距离25yxd.将①代入,得22211122()()555xpxxppxpppppd.因为d的最小值为2525,,2555pp.……………(12分)(若用导数求切线的斜率为2的切点坐标,参考给分.)58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆)0(422yyx,动圆M与此半圆相切且与x轴相切。(1)求动圆圆心M的轨迹方程。(2)是否存在斜率为31的直线l,它与(1)中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由。(1)设动圆圆心),(yxM,作MN⊥x轴于点N①若两圆外切:2||||MNMO,则222yyx化简得:44222yyyx)1(42yx)0(y……………3分②若两圆内切:||2||MNMO,则yyx22222244yyyx)1(42yx)0(y……………5分综上,动圆圆心的轨迹方程是)1(42yx)0(y及)1(42yx)0(y………6分其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分,如图所示。(2)假设直线l存在,可设l的方程为y31bx。依题意得,它与曲线)1(42yx交于点DA,,与曲线)1(42yx交于点CB,。即01212432bxx①01212432bxx②||AD231)(1||DAxx,||BC231)(1||CBxx||AD2||BC||DAxx=2||CBxxy31bx)1(42yxy31bx)1(42yx即234)(+34)1212(b=4[234)(-34)1212(b得b32……………11分将其代入方程①得2AxDx310因为曲线)1(42yx的横坐标范围为),2()2,(,所以这样的直线l不存在。……………13分59、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足.0||,022TFTFPT(Ⅰ)设x为点P的横坐标,证明1||cFPaxa;(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=.2b若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.解(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),由P(x,y)在椭圆上,得22222212||()()bFPxcyxcbxa2().caxa又由,xa知0caxcaa,所以1||.cFPaxa(Ⅱ)当0||PT时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.当||0PT且2||0TF时,由2||||0PTTF,得2PTTF.又2||||PQPF,所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中,11||||2OTFQa,所以有222.xya综上所述,点T的轨迹C的方程是222.xya(Ⅲ)C上存在点M(00,yx)使S=2b的充要条件是2220020,12||.2xyacyb③④由③得ay||0,由④得.||20cby所以,当cba2时,存在点M,使S=2b;当cba2时,不存在满足条件的点M.当cba2时,100200(,),(,)MFcxyMFcxy,由2222221200MFMFxcyacb,121212||||cosMFMFMFMFFMF,212121||||sin2SMFMFFMFb,得.2tan21MFF【总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所强调的问题,应熟练掌握其解题技巧,一般地,在这类问题种,平面向量只起“背景”或“结论”的作用,几乎都不会在向量的知识上设置障碍,所考
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