因数个数定理-鞠老师

奥数专项－因数个数定理鞠老师的杯赛园地因数个数定理的存在意义–在奥数问题中，有些时候我们需要对整数的因数（或约数）特征进行探讨。–比如：某个整数的因数一共有多少个？所有因数的和是多少？––在这些题型中，如果我们拼着自己的实力，先把这个数分解质因数，再根据质因数一一列举出所有因数，再统计数量；–真的是一项非常浩大的工程，费力又费神！––那么，有没有什么简单的方法，或者精炼的规律可以利用呢？因数个数定理的由来–我们即将要介绍的可以推广到所有数的因数统计的方法：因数个数定理。–因数个数定理的由来：科学合理的推理与归纳––实际示例1:720共有几个约数？1：720共有几个约数？–按正常反应–第一步：分解质因数–得：720=2×2×2×2×3×3×5–如果我们把质因数中相同的数看作一个种类的因子，将质因数疏离成更简单明了的样式，可得：–720=24×32×5720=24×32×51的后续处理–在因数和倍数的章节中我们学到，一个数的因数与它的质因数相关。–拿720举例，它的质因数中有2、3、5三种质因子。–在这三种因子中，任意挑选后相乘所得的结果，应该都是720的约数–对于2这个因子，我们有几种可能的挑法呢：挑1个、2个、3个、4个？–哦不，算漏了一种，还有1种可能：一个都不要。–所以，2这个因子的挑选可能性有：4+1=5种–同理，3这个因子的挑选可能性有2+1=3种–5这个因子的挑选可能性有1+1=2种720的因数个数：因子搭配的结果–因子挑选的搭配结果一共有？–这个问题是否类似于我们日常进行的组合搭配呢？–是。–搭配的环节有三个：2的因子怎么选、3的因子怎么选、5的因子怎么选–基本类似于穿衣搭配中上衣、裤子、鞋子的搭配，根据乘法原理–720的因数个数等于＝（4+1）（2+1）（1+1）一般性的推广–对于一个一般大于1的正整数P，–若对于P可以分解质因数得P＝𝑎𝑥1×𝑏𝑥2×𝑐𝑥3×⋯.–那么，P的因数个数为𝑥1+1𝑥2+1𝑥3+1……–一个正整数的因数个数，与它的质因数分解结果有关，等于其中的每一个因子的次数加一的连乘的积实战演练－firststage–225共有几个约数？1400有多少个约数？实战演练－firststage实战演练－secondstage–1、1至100以内，恰好有8个约数的个数的数有几个？实战演练－secondstage–2、求所有能被30整除，且恰好有三十个不同约数的自然数实战演练－secondstage–3、210的倍数中，有多少个数恰好有210个约数？实战演练－secondstage–4、一个两位数有6个因数，这个数的最小的三个因数之和为10，那么此数是几？课后作业–1、14400的所有约数的个数是多少？–2、如果两个数的最大公因数为30，而且它们的约数个均为12，那么这两个数是多少？–3、31500的约数中，与6互质的共有几个？–4、如果一个自然数的约数的个数为奇数，我们称这个数为希望数，那么，1000以内最大的希望数是多少？–5、有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数为2800，求这两个数分别是多少？–6、将一个数的所有约数两两求和，在所有的和中，若最小的数是4，最大的是180，则这个数是多少–亲爱的同学–谢谢配合！–下次再见