概率论与数理统计第二章习题答案

第二章随机变量及其分布习题2.11．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5．从中任取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码．（1）试求X的分布列；（2）写出X的分布函数，并作图．解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n，（1）X的全部可能取值为3,4,5，且事件“X=3”所含样本点个数为k1=1，有1.0101}3{===XP，事件“X=4”所含样本点个数为31223232=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，有3.0103}4{===XP，事件“X=5”所含样本点个数为61234243=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，有6.0106}5{===XP，故X的分布列为6.03.01.0543PX；（2）因分布函数F(x)=P{X≤x}，分段点为x=3,4,5，当x3时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0，当3≤x4时，F(x)=P{X≤x}=P{X=3}=0.1，当4≤x5时，F(x)=P{X≤x}=P{X=3}+P{X=4}=0.1+0.3=0.4，当x≥5时，F(x)=P{X≤x}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.1+0.3+0.6=1，故X的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤=.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0)(xxxxxF2．一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数．（1）试求X的分布列；（2）写出X的分布函数．解：样本点总数n=62=36，（1）X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6，且事件“X=1”所含样本点个数为k1=62−52=11，有3611}1{==XP，事件“X=2”所含样本点个数为k2=52−42=9，有369}2{==XP，事件“X=3”所含样本点个数为k3=42−32=7，有367}3{==XP，事件“X=4”所含样本点个数为k4=32−22=5，有365}4{==XP，00.10.41345xy事件“X=5”所含样本点个数为k5=22−1=3，有363}5{==XP，事件“X=6”所含样本点个数为k6=1，有361}6{==XP，故X的分布列为3613633653673693611654321PX；（2）因分布函数F(x)=P{X≤x}，分段点为x=1,2,3,4,5,6，当x1时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0，当1≤x2时，3611}1{}{)(===≤=XPxXPxF，当2≤x3时，36203693611}2{}1{}{)(=+==+==≤=XPXPxXPxF，当3≤x4时，36273673693611}3{}2{}1{}{)(=++==+=+==≤=XPXPXPxXPxF，当4≤x5时，36323653673693611}{}{)(41=+++===≤=∑=kkXPxXPxF，当5≤x6时，36353633653673693611}{}{)(51=++++===≤=∑=kkXPxXPxF，当x≥6时，F(x)=P{X≤x}=P(Ω)=1，故X的分布函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤≤=.6,1;65,3635;54,3632;43,3627;32,3620;21,3611;1,0)(xxxxxxxxF3．口袋中有7个白球、3个黑球．（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的概率分布列；（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X的概率分布列如何．解：（1）X的全部可能取值为1,2,3,4，且107}1{==XP，30797103}2{=×==XP，12078792103}3{=××==XP，1201778192103}4{=×××==XP，故X的概率分布列为120112073071074321PX；（2）X的全部可能取值仍为1,2,3,4，且7.0107}1{===XP，24.0108103}2{=×==XP，054.0109102103}3{=××==XP，006.01010101102103}4{=×××==XP，故X的概率分布列为006.0054.024.07.04321PX．4．有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．以X表示所取到的白球数．（1）试求X的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？解：设A1,A2,A3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”，（1）X的全部可能取值为0,1,2,3，且P{X=0}=P(A1)P{X=0|A1}+P(A2)P{X=0|A2}+P(A3)P{X=0|A3}610301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=，P{X=1}=P(A1)P{X=1|A1}+P(A2)P{X=1|A2}+P(A3)P{X=1|A3}2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=，P{X=2}=P(A1)P{X=2|A1}+P(A2)P{X=2|A2}+P(A3)P{X=2|A3}10330630303512233135132231031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×=，P{X=3}=P(A1)P{X=3|A1}+P(A2)P{X=3|A2}+P(A3)P{X=3|A3}30130100353331031031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×+×=，故X的概率分布列为30110321613210PX；（2）所求概率为313010301103}3{}2{}2{==+==+==≥XPXPXP．5．一批产品共有100件，其中10件是不合格品．根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验．（1）试求5件产品中不合格品数X的分布列；（2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？解：样本点总数7528752012345969798991005100=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n，（1）X的全部可能取值为0,1,2,3,4,5，且事件“X=0”所含样本点个数为439492681234586878889905900=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，事件“X=1”所含样本点个数为25551900123487888990104901101=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，事件“X=2”所含样本点个数为5286600123888990129103902102=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，事件“X=3”所含样本点个数为48060012899012389102903103=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，事件“X=4”所含样本点个数为18900901234789101904104=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，事件“X=5”所含样本点个数为252123456789105105=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，则583752.07528752043949268}0{===XP，339391.07528752025551900}1{===XP，070219.0752875205286600}2{===XP，006384.075287520480600}3{===XP，000251.07528752018900}4{===XP，000003.075287520252}5{===XP，故X的分布列为000003.0000251.0006384.0070219.0339391.0583752.0543210PX；（2）所求概率为P{X0}=1−P{X=0}=1−0.583752=0.416248．6．设随机变量X的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(xxxxxxF试求X的概率分布列及P{X3}，P{X≤3}，P{X1}，P{X≥1}．解：X的全部可能取值为其分布函数F(x)的分段点0,1,3,6，且41041)00()0(}0{=−=−−==FFXP，1214131)01()1(}1{=−=−−==FFXP，613121)03()3(}3{=−=−−==FFXP，21211)06()6(}6{=−=−−==FFXP，故X的概率分布列为2161121413210PX；且31)03(}3{=−=FXP；21)3(}3{==≤FXP；32311)1(1}1{1}1{=−=−=≤−=FXPXP；43411)01(1}1{1}1{=−=−−=−=≥FXPXP．7．设随机变量X的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=.e,1e;1,ln;1,0)(xxxxxF试求P{X2}，P{0X≤3}，P{2X2.5}．解：P{X2}=F(2−0)=ln2；P{0X≤3}=F(3)−F(0)=1−0=1；P{2X2.5}=F(2.5−0)−F(2)=ln2.5−ln2=ln1.25．8．若P{X≥x1}=1−α，P{X≤x2}=1−β，其中x1x2，试求P{x1≤X≤x2}．解：P{x1≤X≤x2}=P{X≤x2}−P{Xx1}=P{X≤x2}+P{X≥x1}−1=1−β+1−α−1=1−α−β．9．从1,2,3,4,5五个数字中任取三个，按大小排列记为x1x2x3，令X=x2，试求（1）X的分布函数；（2）P{X2}及P{X4}．解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n，（1）X的全部可能取值为2,3,4，且事件“X=2”所含样本点个数为k1=3，有3.0103}2{===XP，事件“X=3”所含样本点个数为k2=2×2=4，有4.0104}3{===XP，事件“X=4”所含样本点个数为k3=3，有3.0103}4{===XP，因分布函数F(x)=P{X≤x}，分段点为x=2,3,4，当x2时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0，当2≤x3时，F(x)=P{X≤x}=P{X=2}=0.3，当3≤x4时，F(x)=P{X≤x}=P{X=2}+P{X=3}=0.3+0.4=0.7，当x≥4时，F(x)=P{X≤x}=P(Ω)=1，故X的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(xxxxxF（2）P{X2}=P(∅)=0，P{X4}=P(∅)=0．10．设随机变量X的密度函数为⎩⎨⎧≤≤−−=.,0;11|,|1)(其他xxxp试求X的分布函数．解：分布函数F(x)=P{X≤x}，分段点为x=−1,0,1，当x−1时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0，当−1≤x0时，21221122)](1[)()(22121++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−−==−−∞−∫∫xxxxuuduuduupxFxxx，当0≤x1时，xxxuuuuduuduuduupxF0201200122)1()](1[)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−+−−==−−∞−∫∫∫21202211022++−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=xxxx，当x≥1时，F(x)=P{X≤x}=P(Ω)=1，故X的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++−≤−++−=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22xxxxxxxxxF11．如果X的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤−≤=.,0;21,2;10,)(其他xxxxxp试求P{X≤1.5}．解：16132325.13021222)2()(}5.1{25.1121025.11105.1=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜