矩阵的伴随矩阵的性质

矩阵的伴随矩阵的性质数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用.关键词:伴随矩阵;矩阵的秩;矩阵的逆;性质中图分类号：O151.21ThepropertiesofAdjointMatrixAbstract:Theconceptoftheadjointmatrixwasfirstlyreviewed,thentherank,thereversibility,theeigenvalueoftheadjointmatrixandadjointmatricesofsomespecialmatriceswerediscussed,withproofsofthepropertiesbeinggivenout.Lastly,thesimpleapplicationsofthepropertiesaboutadjointmatrixweregivenout.Keywords:adjointmatrix；therankofthematrix；inversematrix；property目录1前言..................................................................................................................................................................12伴随矩阵的定义..............................................................................................................................................13伴随矩阵的性质..............................................................................................................................................13.1伴随矩阵的基本性质...........................................................................................................................13.2伴随矩阵秩的性质...............................................................................................................................33.3伴随矩阵特征值的性质.......................................................................................................................43.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质...............................................................................................................44伴随矩阵的性质的简单应用..........................................................................................................................7结束语..................................................................................................................................................................8参考文献........................................................................................................................................................9致谢....................................................................................................................................................................9矩阵的伴随矩阵的性质21前言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给予证明，得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的概念—伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前.2伴随矩阵的定义设n阶矩阵A=nnnnaaaa1111,),2,1,(njiAij是A中元素ija的代数余子式，称矩阵nnnnAAAAA1111*为A的伴随矩阵.3伴随矩阵的性质3.1伴随矩阵的基本性质定理3.1[1]n阶矩阵A可逆的充分必要条件是0A;当A可逆时,*11AAA,其中*A为A的伴随矩阵.性质1设*A为A的伴随矩阵,则EAAAAA**.证明［2］由行列式按一行（列）展开的公式3;,,,01jiAjiAajkiknk.,,,01jiAjiAankkjkinji,2,1,可得EAAAAA**.注：（1）A可逆时，1*AAA;（2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题.推论3.1*A与A同时可逆或同时不可逆，且A为n阶可逆矩阵，则AAAA1**1.性质211*nAAn.证明若A可逆,则0A，由性质1得EAAA*.两边取行列式，得nnAEAEAAA*，也就是nAAA*.又0A，则1*nAA.若A不可逆,则1nAR［3］,于是A或0.所以，0*AA.性质3设A为1nn阶方阵，k为任意非零常数,则*1*AkkAn.证明设ijaA，nnnnkakakakakA1111，.*111111111*AkAkAkAkAkkAnnnnnnnnn性质4TTAA**证明（法一）设nnnnaaaaA1111，则nnnTAAnAAA1111*,其中njiAij,2,1,是A中元素ija的代数余子式.又设nnnnTBBBBA1111*，其中njiBij,,2,1,是A中元素ija在TA中的代数余子式.由于ija在A中的代数余子式与ija在TA中的代数余子式互为转置行列式，故ijijBA.从而TTAA**.（法二）由性质2注（1），*111*TTTTTTAAAAAAAA.4性质5***ABAB证明由性质1注（1），**11111*ABAABBABBAABABAB.推广设nAAA,,21均为n阶方阵1m，则*1*2**21AAAAAAmm，特别地，mmAA**，m为正整数.3.2伴随矩阵秩的性质矩阵的秩是矩阵的重要特性，若以AR表示矩阵A的秩，则有以下结论:定理2［3］设A是n阶矩阵，则.1,0;1,1;,*nARnARnARnAR证明（1）当nAR时，0A，由性质2，01*nAA,所以nAR*.（2）当1nAR时，有0A.于是，由0*EAAA知*A的列向量都是方程组0AX的解.由于1nAR，则齐次线性方程组0AX的解向量组的秩为1)1(nn，知*A的列向量组的秩为1，即列秩为1，故1*AR.(3)当1nAR时，*A的每一个元素),2,1,(njiAij都是0，因为A没有不为0的1n阶子式，故0*AR.性质6AAAn2**，特别，当2n时，AA**.证明当A可逆，即0A时，由性质1得EAAA****.所以，AAAAAAAAnn211****1.当A不可逆，即0A时，0**AR,所以**A.因此AAAn2**.性质7设n阶矩阵A的秩是2nn，那么存在数k使得*2*kAA.证明由定理2得，1*AR，于是必存在*A的一个列向量Tnaaa215使得nnbbbaaaA2121*.因此，nnnnbbbaaabbbaaaA212121212**21121kAbbbabaaanniiin，这里niiiabk1.3.3伴随矩阵特征值的性质性质8设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，则A为*A的特征值.证明因为1*AAA，又1为1A的特征值，故存在非零向量a，使得aaA11，即aAaAA1，从而aAaA*，故A为*A的特征值.性质9设n阶可逆矩阵A的特征根为n个非零实数n,,21，则*A的特征根AAAn11211,,.证明在niaAaiii,2,1两边左乘，利用EAAA*得到iiiaAAaA**，所以iiiaAaA1*故niAi,2,1为*A的特征值.3.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10A可逆的充分必要条件是*A可逆.证明必要性由性质1知，EAAAAA**.若A可逆，则0A.所以，EAAAAAA**.6由可逆矩阵的定义可知*A可逆.充分性欲证命题成立，只需证其逆否命题成立.即需证若A不可逆则*A也不可逆.即证若0A则0*A.用反证法.假设0*A，则*A可逆.由0*EAAA得，AAAAA1*1**由伴随矩阵*A的定义可知*A与0*A矛盾.故假设不成立，原命题成立.综上所述，A可逆*A可逆.性质11若A对称，则*A也对称.证明设ijaA,因为A是对称的，所以TAA.因此jiijaa且jiijAA.从而，TAA**,即*A是对称的.性质12设A可逆，若*A是对称矩阵，则A为对称矩阵.证明TTTTAAAAAAAAAA111*11*11*111所以，A为对称矩阵.性质13若A为n阶反对称矩阵，则当n为偶数时，*A仍为反对称矩阵；当n为奇数时，*A为对称矩阵.证明由性质3知，,1*1*AAn又AAT,由性质4得，*1***1AAAAnTT.所以，当n为奇数时，**AAT,此时*A是对称方阵;当n为偶数