排列的概念及简单的排列问题

第十章排列、组合和二项式定理3.1.1排列的概念及简单的排列问题第十章排列、组合和二项式定理课前自主学习教学目标1．理解排列的意义，并且能在理解题意的基础上，识别出排列问题；能用列举法列出排列，并能用树形图写出一个排列中所有的排列．2．重点是利用排列的概念研究排列问题，难点是写出具体问题的排列．第十章排列、组合和二项式定理复习旧知1．分类计数原理，即______原理，将完成一件事的办法分为n类，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N________________________种方法．m1＋m2＋…＋mn加法第十章排列、组合和二项式定理2．分步计数原理，即_______原理，将完成一件事分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，…，第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种方法．乘法m1×m2×…×mn第十章排列、组合和二项式定理情境设疑北京、上海、广州3个名航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？第十章排列、组合和二项式定理问题1北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？起点站终点站北京上海北京北京上海上海广州广州广州飞机票北京北京北京北京上海广州上海上海上海广州广州广州我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是，所提出的问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。第十章排列、组合和二项式定理新课讲解1．排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，__________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．如果m〈n,这样的排列叫选排列，如果m=n，这样的排列叫全排列。2．相同排列若两个排列相同，则两个排列的元素_____________，且元素的______________种方法．按照一定的顺序排成一列完全相同排列顺序第十章排列、组合和二项式定理问题探究1．排列有何特点与特性？提示：特点是先取后排；特性是有序性．2．相同的两个元素在一起(如11)是排列吗？提示：是排列，是只有一个排列．第十章排列、组合和二项式定理课堂互动讲练(1)定义中包含三方面的意思：一是给出的几个元素互不相同，二是取出的几个元素没有重复，三是按一定的顺序排列．(2)只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．第十章排列、组合和二项式定理(3)在实际问题中，判断一个事件是否为排列，取出的元素的有序性是重要依据，而要判断取出的元素是否有序，可以通过将取出的元素中任意两个交换位置，看是否得到不同的结果．第十章排列、组合和二项式定理例1在下列问题中：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？(2)从学号为1到10号的10名同学中任取两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方式？(3)平面上有5个点，其中任意三点不共线，最多可确定多少条射线？是排列问题的个数为()A．0B．1C．2D．3第十章排列、组合和二项式定理【分析】判断一个问题是否是排列问题，就看从n个不同元素中取出的m个元素是有序还是无序．有序是排列，无序就不是排列．【解析】(1)因为点的坐标是有序数对，所以是排列问题．(2)因为只要从10名同学中抽出两名即可，和顺序无关，所以不是排列问题．(3)确定射线是排列问题．【答案】C第十章排列、组合和二项式定理【点评】判定一个排列问题，要抓住排列的本质特征，第一步取出的元素无重复性，第二步选出的元素必须与顺序有关才是排列问题，元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否是排列的关键．第十章排列、组合和二项式定理例2从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同数字组成一个三位数．共能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数．【思路点拨】本题是排列问题，可先按“百，十，个”位的顺序分步解决，然后再用树形图列出所有排列，也可直接用“树形图”列出所有情况，再回答有多少个．第十章排列、组合和二项式定理【解】(1)组成一个三位数分三个步骤．第一步：选百位上的数字，考虑0不能排首位，故有3种不同选法．第二步：选十位上的数字，有3种不同选法．第三步：选个位上的数字，有2种不同选法．根据分步计数原理，共有3×3×2＝18(个)不同的三位数．第十章排列、组合和二项式定理画出下列树形图：由树形图知所有的三位数为：102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第十章排列、组合和二项式定理【误区警示】在解答本题(1)的过程中易出现组成三位数的个数为4×3×2＝24而导致结果错误，导致错误的原因是忽略了0不能打头的这个隐含条件．另外树形图的应用不当也容易致错．第十章排列、组合和二项式定理例3从10名集训的乒乓球运动员中，任选3名运动员并排好出场的先后次序参加比赛，有多少种参赛方法？，第十章排列、组合和二项式定理随堂即时巩固1．三个车站之间需要准备的车票的种数为()A．3B．4C．5D．6解析：选D.设三个车站为A、B、C，则车票种类有AB、AC、BA、BC、CA、CB共6种．第十章排列、组合和二项式定理2．下面几个问题属于排列的有()①由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数；②从40人中选5人组织篮球队；③8个人进行单循环乒乓球比赛；④从40人中选5人担任班长、团支书、副班长、学习委员、体育委员．A．①②B．②④C．①③D．①④解析：选D.②中5人没顺序，③中两个人比赛没顺序．第十章排列、组合和二项式定理3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在中间，所有的排法种数为()A．4B．5C．6D．7解析：选A.甲只能在两端即甲乙丙、甲丙乙、乙丙甲、丙乙甲．第十章排列、组合和二项式定理4．从2,3,5,7中每次选出两个不同的数分别作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是__________，其中真分数的个数是__________．解析：23，25，27，32，52，72，35，37，53，73，57，75共12个，真分数有6个．答案：126