高中数学选修4-4坐标系

（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？军舰水雷群创设情境从这里向东北走500米就到了请问：去省实验中学怎么走？问路人好心人请认真分析好心人的回答：“从这里向东北走500米就到了”，他是从哪些方面确定省实验中学位置的？在我们日常生活中人们经常用方向和距离来确定一点的位置，这种用方向和距离确定平面上一点位置的思想，就是极坐标的基本思想。出发点、方向、距离请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走1000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。情境分析请分析上面这句话，他告诉了问路人什么?从这向北走2000米!请分析上面这句话，他告诉了问路人什么?从这向北走2000米!出发点请分析上面这句话，他告诉了问路人什么?从这向北走2000米!出发点方向请分析上面这句话，他告诉了问路人什么?从这向北走2000米!出发点方向距离请分析上面这句话，他告诉了问路人什么?从这向北走2000米!出发点方向距离请分析上面这句话，他告诉了问路人什么?从这向北走2000米!在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。请大家回忆直角坐标系的建立过程，试着建立一个用距离与角度确定平面上一点位置的坐标系.试一试？一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点,叫做极点；引一条射线,叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。XOOOX如图:极坐标系OX,对比直角坐标系想一想平面上任意一点M的极坐标该如何表示？XOM.想一想？记:M(,)强调：不做特殊说明时,≥0,∈R当=0时，表示极点。表示线段OM的长度，叫做点M的极径;XOM.有序数对(,)就叫做点M的极坐标.表示以OX为始边，射线OM为终边的角,叫做点M的极角;三、点的极坐标的表达式的研究xOM如图：OM的长度为4，4请说出点M的极坐标的其它表达式.思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同.也就是说它们是终边相同的角.本题点M的极坐标统一表达式：π42π+4kkZ，极径相同，不同的是极角①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定:当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。思考？例1：说出图中点A、B、C的极坐标，并标出点所在的位置.),65,4(),4,2(ED)35,5.3(F题组一：说出下图中各点的极坐标.456p53p43pp2ABCDEFGOx例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)4C(2,)2D(5,)56E(4.5,)F(6,)43G(7,)531数学运用56435324(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3ABCDEFG题组2：在极坐标系里描出下列各点练一练6535342ABCDEFGOX解析：四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=;如图示：OXPM新课讲解OXP=/4M2、负极径的实例在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3;如图示：M（－3，/4）新课讲解●3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的吗？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？新课讲解4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点:（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。负极径总结：极径是负的，等于极角增加。负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”特别强调：以后不特别声明，0。因为，负极径只在极少数情况用。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）6答：（－6，+π）6或（－6，－+π）611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况使用。五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…新课讲解一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或(－ρ,θ+(2k+1)π)都可以作为它的极坐标.若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组41.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()6A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)666565思考:极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各坐标中,不是M点的坐标的是()(A)(10,)(B)(-10,-)(C)(10,-)(D)(10,)433532323课后作业3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()6A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)656665A[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。有.（，2k）课堂小结或（-，2kπ）课堂小结1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）其中表示同一个点（ρ，θ）；2、点M（ρ，θ）关于极点的对称点的一个坐标为（-ρ，θ）或（ρ，π+θ）；3、点M（ρ，θ）关于极轴的对称点的一个坐标为（ρ，-θ）或（-ρ，π-θ）；4、点M（ρ，θ）关于直线的对称点的一个坐标为（-ρ，-θ）或（ρ，π-θ）；例2：下图是某校园的平面示意图，点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标。50mBDECA60m120m45o60oOX)0,0(A)0,60(B)3,120(C)2,360(D)43,50(E2、已知极坐标系中两点如何求线段|PQ|的长？)6,3(P),2,2(Q推广：极坐标系内两点的距离公式：),(),,(2211QP)cos(2|PQ|2121222119||PQ探索？1、极坐标系中点的对称关系?四、课堂练习ABO2.已知三点的极坐标为,则为()A、正三角形B、直角三角形C、锐角等腰三角形D、等腰直角三角形)310,5(、A)38,5(D)34,5(M1.已知极坐标,下列所给出的不能表示点M的坐标的是())32,5(、B),43,2(),2,2(BACD)3,5(、C)0,0(O小结1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)2,0[,02．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个O，点O叫做极点，自极点O引一条Ox，Ox叫做极轴；再确定一个、一个(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．定点射线长度单位角度单位(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与表示同一个点，特别地，极点O的坐标为，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究]1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．无数(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)(0，θ)(θ∈R)学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。一、选择题（每小题6分，共36分）1.下列极坐标对应的点在极轴上的是()(A)(1,1)(B)(2,0)(C)(3,)(D)(3,)【解析】选B.由于极轴上的点为（ρ，2kπ）k∈Z，ρ≥0，故(2，0)在极轴上.622.极坐标系中，与点(3,)相同的点是()(A)(3,)(B)(3,)(C)(3,)(D)(3,)【解析】选A.由于与的终边相同，所以与点(3,)重合的点是(3，).6136617656613661363.极坐标系中，集合{(ρ，θ)|ρ=1，θ∈R}表示的图形是()（A）点（B）射线（C）直线（D）圆【解析】选D.由于ρ=1，θ∈R表示到极点距离等于1的点的集合，即以极点为圆心，半径为1的圆.4.极坐标系中，点A(1,),B(2,),则|AB|等于()（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】选C.由于与的终边互为反向延长线，即A,O,B三点共线，所以|AB|=|AO|+|OB|=1+2=3.1213121213125.极坐标系中，点（3，-5）到极轴所在直线的距离为()（A）3cos5（B）-3cos5（C）3sin5（D）-3sin5【解析】选D.由于点（3，-5）到极轴所在直线的距离为3|sin5|,而＜5＜2π，sin5＜0，所以-3sin5为所求.326.极坐标系中，已知点A(2,)，,O(0,0),则△ABO为()（A）等边三角形（B）直角三角形（C）等腰锐角三角形（D）等腰直角三角形【解析】选D.由题意，得∠AOB=，由余弦定理得且|OB|2+|AB|2=|OA|2,∴∠ABO=.故△ABO为等腰直角三角形.23B(2,)44222|AB|=(2)+2-222cos=2,4二、填空题（每小题8分，共24分）7.极坐标系中（ρ＞0，θ∈[0，2π）），点（2,）关于极点的对称点的极坐标为______.【解析】点（2,）关于极点的对称点的极坐标为（2,+π），即（2,+2π），依题意，得（2,）为所求.答案：（2,）5353532323238.已知极坐标系中,P(3,),A(2,),0≤θ＜2π,则点A关于射线OP的对称点的极坐标为_______.【解析】如图所示,∠xOA=,∠xOP=,设A关于射线OP的对称点为A′,应有|OA′|=|OA|=2,∠xOA′=,∴A′(2,).答案：(2,)2343424449.关于极坐标