高中数学一轮复习课件：直线与圆锥曲线的位置关系

考纲要求1.了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2．理解直线与圆锥曲线的位置关系．3．理解数形结合思想的应用．热点提示关于直线与圆锥曲线的关系中的求弦长、焦点弦长及弦中点等问题是常考的．这类问题很容易组成综合性试题，如探索性试题等，因为它具有考查思维能力、提高区分度的功能，所以可能结合其他章节的知识如三角、数列、平面向量等命制综合试题.1．设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，f(x，y)＝0，得ax2＋bx＋c＝0.•(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则•①Δ0，直线l与圆锥曲线有交点．•②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有的公共点．•③Δ0，直线l与圆锥曲线公共点．•(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l与双曲线的渐近线；当圆锥曲线为抛物线时，l与抛物线的对称轴两个不同唯一没有平行或重合平行或重合．2．直线l：y＝kx＋b，与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2(y1＋y2)2－4y1y2.(1)将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.(2)两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.(3)分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2(x1＋x2)a2(y1＋y2)＝－b2x0a2y0.1．AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为()A．b2B．abC．acD．bc解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝12|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.答案：D•2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()•A．1B．1或3•C．0D．1或0解析：由y＝kx＋2，y2＝8x，得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.答案：D•3．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是__________．解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)由y＝kx－2，y2＝8x，消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由题意得Δ＝[－4(k＋2)]2－4×k2×40，x1＋x2＝4(k＋2)k2＝2×2，∴k－1，k＝－1或k＝2.即k＝2.答案：24．倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________．解析：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x214＋y21＝1，①x224＋y22＝1，②①－②得14(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③又直线AB的斜率k＝tanπ4＝y1－y2x1－x2＝1，∴y1－y2＝x1－x2.④由中点坐标公式得x1＋x22＝x，y1＋y22＝y，即x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.⑤把④⑤代入到③中得x＝－4y∴直线方程为x＋4y＝0，由x24＋y2＝1，x＋4y＝0，得x2＝165.∴x1＝－455，x2＝455.∴点M的轨迹方程为x＋4y＝0(－455x455)答案：x＋4y＝0(－455x455)5．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝102，求椭圆方程．解：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由y＝x＋1，mx2＋ny2＝1，消去y，整理得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)0，即m＋n－mn0，OP⊥OQ等价于x1x2＋y1y2＝0，将y1＝x1＋1，y2＝x2＋1代入，整理得2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，∴2(n－1)m＋n－2nm＋n＋1＝0⇒m＋n＝2，①由弦长公式，得2·4(m＋n－mn)(m＋n)2＝(102)2，将m＋n＝2代入，得mn＝34.②解①②得m＝12，n＝32，或m＝32，n＝12.显然满足Δ0，故所求椭圆的方程为x22＋3y22＝1或3x22＋y22＝1.【例1】过点A(0,2)可作__________条直线与双曲线x2－y24＝1有且只有一个公共点．解：设过点A(0,2)的直线为y＝kx＋2，代入双曲线x2－y24＝1，得(4－k2)x2－4kx－8＝0.当4－k2＝0，即k＝±2时，方程(4－k2)x2－4kx－8＝0只有一解，故直线与曲线相交只有一个交点．当4－k2≠0时，由Δ＝(4k)2－4(4－k2)(－8)＝0，解得k＝±22，此时直线与曲线相切于一点．故过点A(0,2)可作4条直线与双曲线x2－y24＝1有且只有一个公共点．•判断直线与圆锥曲线的公共点个数问题有两种方法：①代数法，即将直线与圆锥曲线联立得到一个关于x(或y)的方程，方程根的个数即为交点个数，此时注意对二次项系数的讨论；②几何法，即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．注意分类讨论和数形结合的思想方法.变式迁移1抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于()A.18B.14C.12D．1解法一：抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切等价于方程组y＝ax2＋1，y＝x有惟一实数解，即方程ax2－x＋1＝0有两等实根．∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝14.解法二：设切点为(x0，x0)，则曲线y＝ax2＋1在该点的导数y′|x＝x0＝2ax0为切线斜率，∴2ax0＝1.①又切点(x0，x0)满足曲线方程x0＝ax20＋1，②联立①②解得a＝14.∴选B.答案：B•【例2】在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长．•解法一：当直线斜率不存在时，M不可能为弦中点，•所以可设直线方程为y＝k(x－2)＋1，•代入椭圆方程，消去y整理得：•(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，•显然1＋4k2≠0，Δ＝16(12k2＋4k＋3)0，由x1＋x2＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12.设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．故所求弦所在直线方程为x＋2y－4＝0.•解法一是解这类问题的通法，但计算比较繁琐，解法二计算比较简单，但不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此应用第二种方法解题时，必须判定满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与已知椭圆方程联立，判断方程组是否有解，即判断由它们联立的方程组所得的一元二次方程的判别式情况.•变式迁移2过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程．•(1)求双曲线的离心率；•(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．•变式迁移3(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.23C.23D.223答案：D••圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解(如本题第(1)问)；(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解(如本题第(2)问)．在解题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.变式迁移41．解方程组Ax＋By＋C＝0，f(x，y)＝0时，若消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，这时，要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除去a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．•2．涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法(“点差法”)找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．•3．有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：(1)两点连线与该直线垂直(斜率互为负倒数)；(2)中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程)．•4．解决平面几何问题，需将平面几何知识转化为代数表示.