相控阵天线方向图推导及仿真

相控阵天线方向推导及仿真1、推导线阵天线方向图公式一个接收线阵，由等间距为d的N个各向同性单元组成，那么在θ方向，相邻单元接收信号的相位差为Ф=2π𝑑𝜆𝑠𝑖𝑛𝜃，线阵排列情况如图1所示。d图1线阵排列示意图因为天线辐射方向图可以由天线上各种各样电流源辐射的单独贡献进行矢量叠加而得出，故各单元电压和为：𝐸𝑎=𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)+𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡+𝜙)+𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡+2𝜙)+⋯+𝑠𝑖𝑛⁡[𝜔𝑡+(𝑁−1)𝜙]将等式两边同时乘以2𝑠𝑖𝑛⁡(𝜙2)，根据积化和差、和差化积等相关数学公式，可得到如下公式：2𝑠𝑖𝑛(𝜙2)𝐸𝑎=𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡−𝜙2)−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜙2)+𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜙2)−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡−32𝜙)+⋯+𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+2𝑁−32𝜙)−𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑡+2𝑁−12𝜙)整理得，2𝑠𝑖𝑛(𝜙2)𝐸𝑎=𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡−𝜙2)−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+2𝑁−12𝜙)⁡⁡=2𝑠𝑖𝑛⁡(𝜔𝑡+𝑁−12𝜙)𝑠𝑖𝑛⁡(𝑁2𝜙)最终得到场强方向图，𝐸𝑎=𝑠𝑖𝑛⁡[𝜔𝑡+(𝑁−1)𝜙2⁄]𝑠𝑖𝑛⁡(𝑁𝜙2⁄)𝑠𝑖𝑛⁡(𝜙2⁄)平方归一化后，得到辐射方向图（阵列因子）：|𝐺𝑎(𝜃)|=𝑠𝑖𝑛2[𝑁𝜋(𝑑𝜆)𝑠𝑖𝑛𝜃]𝑁2𝑠𝑖𝑛2[𝜋(𝑑𝜆)𝑠𝑖𝑛𝜃]上式中，当(𝑑𝜆)𝑠𝑖𝑛𝜃=0,±1,±2,···±𝑛时|𝐺𝑎(𝜃)|取得相等的最大值，但是我们只期望看到(𝑑𝜆)𝑠𝑖𝑛𝜃=0的情况，取其他值产生的栅瓣是我们所不想见到的，为避免这种情况，特令𝑑𝜆。前面的公式中认定主瓣指向为0°，当主瓣指向𝜃0方向时，则各向同性单元线阵的归一化辐射方向图为：𝐺(𝜃)=𝑠𝑖𝑛2[𝑁𝜋(𝑑𝜆)(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0)]𝑁2𝑠𝑖𝑛2[𝜋(𝑑𝜆)(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0)]此时，由于−2≤𝑠𝑖𝑛(𝜃)−𝑠𝑖𝑛(𝜃0)≤2，故防止产生栅瓣的条件为𝑑𝜆2⁄。当来波方向与主瓣指向相近时𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0很小，有：𝑠𝑖𝑛2[𝜋(𝑑𝜆)(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0)]≈[𝜋(𝑑𝜆)(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0)]2这时的辐射方向图是𝑠𝑖𝑛2𝜇𝜇2⁄的形式，式中μ=(𝑑𝜆)(𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0)，当μ=±0.443π时，天线方向图被衰减到最大值的一半，又因为𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0项可以写成𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0=𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜃0)𝑐𝑜𝑠(𝜃0)−[1−𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜃0)]𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜃0)当𝜃0很小时，方程右边第二项可以忽略，所以𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0≈𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜃0)𝑐𝑜𝑠(𝜃0)。最终我们可以得到天线的半功率波束宽度为𝜃𝐵≈0.886𝜆𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃0（rad）。2、电子扫描阵列天线方向图仿真·1、不同参数情况下的栅瓣现象及分析由前面的分析可知，归一化后的天线方向图可以表示为：𝐺𝑎(𝜃)=sin2(𝑁𝜋𝑑𝜆(sin𝜃−sin𝜃0))𝑁2sin2(𝜋𝑑𝜆(sin𝜃−sin𝜃0))其中d表示天线长度，N表示天线阵元个数，𝜆表示信号波长。当𝜋𝑑𝜆(sin𝜃−sin𝜃0)=0,±1,±2,⋯,±n,⋯⁡⁡n≥1,n∈𝒵时，𝐺𝑎(𝜃)的分子、分母均为0，由洛毕达法则可知，当sin𝜃−sin𝜃0=±n𝜆𝑑时，𝐺𝑎(𝜃)取最大值1，其中sin𝜃−sin𝜃0=0，即𝜃=𝜃0时，是主瓣，sin𝜃−sin𝜃0=±n𝜆𝑑的解对应的是栅瓣。所以为了防止栅瓣的出现，必须要求波长和天线长度满足：𝑑𝑑𝑚𝑎𝑥=𝜆max(|sin𝜃−sin𝜃0|)当𝑑≥𝑑𝑚𝑎𝑥时，会出现栅瓣，假设栅瓣对应的角度为𝜃𝑔，则sin𝜃𝑔−sin𝜃0=±n𝜆𝑑即𝜃𝑔=arcsin(sin𝜃0±n𝜆𝑑)𝜃𝑔的具体求法参见“arcsin.m”为了对不同参数情况下的栅瓣现象进行分析，本实验主要包括：·1固定𝜃0，𝜆，改变𝑑，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。·2固定𝑑，𝜆，改变𝜃0，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。·3固定𝜃0，𝑑，改变𝜆，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。·4仿真并解释频率色散与扫描限制。1.假设𝜃0=0,𝜆=0.5，则𝑑𝑚𝑎𝑥=0.5，下图给出了d取不同值时的情况：由上图可以看出，在𝜃0=0,𝜆=0.5,𝑑𝑚𝑎𝑥=0.5的条件下，当𝑑𝑑𝑚𝑎𝑥时，只有主瓣，没有栅瓣，是我们想要的结果；当𝑑𝑑𝑚𝑎𝑥时，出现栅瓣，且栅瓣个数随着d的增加而增加。假设𝜃0=30。,𝜆=0.5，则𝑑𝑚𝑎𝑥=0.33333，下图给出了d取不同值时的情况：由上图可以看出，在𝜃0=30。,𝜆=0.5,𝑑𝑚𝑎𝑥=0.33的条件下，当𝑑𝑑𝑚𝑎𝑥时，只有主瓣，没有栅瓣，是我们想要的结果；当𝑑𝑑𝑚𝑎𝑥时，出现栅瓣，且栅瓣个数随着d的增加而增加。2.假设𝑑=0.5,𝜆=0.5，下图给出了𝜃0取不同值时的情况：由上图可以看出，在𝑑=0.5,𝜆=0.5的条件下，当𝜃0取不同值时，𝑑𝑚𝑎𝑥=0.33会发生变化，进而会影响栅瓣的数量和位置。栅瓣会随着𝜃0的变大而出现。3.假设𝑑=0.5,𝜃0=30°，下图给出了𝜆取不同值时的情况：由上图可以看出，在𝑑=0.5,𝜃0=30°的条件下，当𝜆取不同值时，𝑑𝑚𝑎𝑥=0.33会发生变化，进而会影响栅瓣的数量和位置。栅瓣会随着𝜆的变大而消失。下表列出了在𝜆=0.5的条件下，不同𝜃0和𝑑对应的主瓣、栅瓣角度：扫描角度𝜃0/°0°30°45°60°天线最大长度dmax/m0.500.330.290.27实际天线长度d/m0.400.601.050.260.400.700.250.330.600.210.320.56主瓣/°理论值000303030454545606060仿真值000303030454545606060栅瓣/°理论值NO56.44-56.4428.4472.25-28.44-72.25NO-48.59-12.37-68.21NO-53.74-7.26-73.74NO-43.55-1.29-65.66仿真值NO56.44-56.4428.4472.25-28.44-72.25NO-48.59-12.37-68.21NO-53.74-7.26-73.74NO-43.55-1.29-65.66由以上仿真可以知道，只有天线孔径𝑑𝑑𝑚𝑎𝑥时，才不会出现栅瓣，而𝑑𝑚𝑎𝑥并不是一层不变的，它与信号频率和天线扫描角度有关。1，2，3代码参考“AntennaPattern.m”4.阵列天线能够工作的基础是：由于扫描方向而引入的时间误差能够被相位误差代替（窄带假设）。之所以有上面的替代是因为电路中实现精确可变的时间延迟要比相位延迟难得多，通常电路中是通过移相器产生相位延迟，进而对接收信号进行相位补偿。相位器与来波频率无关，即对所有频率的来波信号都会产生相同的相位延迟φ，由φ=2𝜋𝑑𝜆sin𝜃0可知，如果希望天线扫描𝜃1，按照𝜆1设计时，有φ1=2𝜋𝑑𝜆1sin𝜃1按照𝜆2设计时，有φ2=2𝜋𝑑𝜆1sin𝜃1’=2𝜋𝑑𝜆2sin𝜃1而雷达总会有一定带宽，经过同一个移相器后，最高频𝑓1和最低频𝑓2就会产生一个误差𝜃1−𝜃1’。下面分别分析𝜃0和∆𝜆的影响。4.1固定∆𝜆，𝑑，分析𝜃0的影响：由上图可以看出，随着𝜃0的增大，误差在不断变大。4.2固定𝜃0，𝑑，分析∆𝜆的影响：由上图可以看出，随着∆𝜆的增大，误差在不断变大。4代码参考“AntennaPattern2.m”·2、主瓣宽度和功率增益随扫描角变化情况。根据前面得理论分析，天线的半功率波束宽度为：00.886cosBNd其中，N为天线阵元个数，d为单元间距，0为扫描角度。当0很大时，这个表达式是无效的，并且阵列的性能会变得很差，而且随着波束从侧射开始扫描，互藕影响也会相应增加，因此，我们在这儿讨论的时候，扫描角度被限制在60。在没有栅瓣的情况下（/2d⁡）进行仿真并改变0的值，得到主瓣宽度和功率增益随扫描角度变化的曲线，实验结果如下图：从图中可以看出，实际仿真结果与理论分析结果一致，随着扫描角的增大，主瓣宽度会相应的增大，相应的后果是天线增益会随扫描角度的增大而减小。代码参考“Effect.m”01020304050602530354045天线方向图主瓣宽度随扫描角度的变化扫描角度/°主瓣宽度/°0102030405060-16-15-14-13-12天线增益随扫描角度的变化扫描角度/°天线增益(dB)