高中数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，f（x，y）＝0消元，如果消去y后得：ax2＋bx＋c＝0，(1)当a≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________；②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________；③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．(2)注意消元后非二次的情况，即当a＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．(3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形．2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l：y＝kx＋m与二次曲线C：f(x，y)＝0交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋m，f（x，y）＝0得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则x1＋x2＝________，x1x2＝________，||AB＝________________________________．(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠：1．无一个两个(1)①相交②相切③相离(2)平行或重合平行或重合2．(1)－baca1＋k2||x1－x2＝1＋k2b2－4ac||a直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．故选A．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是()A．(0，23)B．(－23，0)C．(－23，23)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)解：双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，若直线与双曲线相交，由数形结合，得k∈(－23，23)．故选C．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y2＝4xB．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则y21＝2px1，y22＝2px2，两式相减可得2p＝y1－y2x1－x2×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选B．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F(2，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为____________．解：由题意得c＝2，b2a＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1．故填x24＋y22＝1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该渐近线与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4相交所得的弦长为________．解：因为bx－ay＝0过点(1，2)，故b－2a＝0，渐近线方程为2x－y＝0，圆心到该直线的距离d＝45，故弦长为24－165＝455．故填455．类型一弦的中点问题(1)已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，则直线AB的方程为___________________________．解法一：根据题意，易知直线AB的斜率存在，设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0．设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x22＝－9k（1－k）9k2＋4＝1，解之得k＝－49．故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0．解法二：设A(x1，y1)．因为AB中点为M(1，1)，所以B点坐标是(2－x1，2－y1)．将A，B点的坐标代入方程4x2＋9y2＝36，得4x21＋9y21－36＝0，①及4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，化简为4x21＋9y21－16x1－36y1＋16＝0．②①－②，得16x1＋36y1－52＝0，化简为4x1＋9y1－13＝0．同理可推出4(2－x1)＋9(2－y1)－13＝0．因为A(x1，y1)与B(2－x1，2－y1)都满足方程4x＋9y－13＝0，所以4x＋9y－13＝0即为所求．解法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得4x21＋9y21＝36，①4x22＋9y22＝36，②①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0．因为M(1，1)为弦的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．所以4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0．所以kAB＝y1－y2x1－x2＝－49．故AB方程为y－1＝－49(x－1)，即4x＋9y－13＝0．故填4x＋9y－13＝0．(2)已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x21－y213＝1，①x22－y223＝1，②x1＋x2＝2x0，③y1＋y2＝2y0，④由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝13(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2．所以y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝3，即kMN·y0x0＝3，因为M，N关于直线y＝x＋m对称，所以kMN＝－1，所以y0＝－3x0．又因为y0＝x0＋m，所以P(－m4，3m4)，代入抛物线方程得916m2＝18·(－m4)，解得m＝0或－8，经检验都符合．故填0或－8．点拨：处理中点弦问题常用的求解方法：①点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．②根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．设抛物线过定点A(－1，0)，且以直线x＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求实数m的取值范围．解：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y)．再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以轨迹C的方程为x2＋y24＝1(x≠1)．(2)依题意知k≠0，设弦MN的中点为P(－12，y0)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x2M＋y2M＝4，4x2N＋y2N＝4．两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，将xM＋xN＝2×(－12)＝－1，yM＋yN＝2y0，yM－yNxM－xN＝－1k(k≠0)代入上式得k＝－y02．又点P(－12，y0)在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－12k＋m．所以m＝y0＋12k＝34y0．由点P(－12，y0)在线段BB′上(B′，B为直线x＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以yB′＜y0＜yB，即－3＜y0＜3．所以－334＜m＜334，又k≠0，则y0＝－2k≠0，从而有m≠0．故m的取值范围为(－334，0)∪(0，334)．类型二定点问题(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→，得x0＝x，y0＝22y．因为M(x0，y0)在C上，所以x202＋y20＝1，所以x22＋y22＝1．因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2．(2)证明：易知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)．由OP→·PQ→＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1．又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0．所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．点拨：①根据已知条件建立方程；②通过假设相关点的坐标，利用函数与方程思想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则计算或化简．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(t24，t)，B(t24，－t)，t＞0．因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32，则t＝42，所以A(8，42)，B(8，－42)，此时直线AB的方程为x＝8．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立y2＝4x，y＝kx＋b，化简得ky2－4y＋4b＝0，根据根与系数的关系得yAyB＝4bk．因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，即xAxB＋2yAyB＝0，即y2A4·y2B4＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，所以yAyB＝4bk＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0)．类型三定值问题已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点T(3，－62)，且半焦距c＝3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，已知D52，0，A(2，1)，过点B(3，0)的直线l与椭圆相交于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，试问|DM|·|DN|是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：(1)方法一：设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－3，0)，F2(3，0)，由椭圆的定义可得2a＝（3＋3）2＋－622＋（3－3）2＋－622＝26，解得a＝6，所以b2＝a2－c2＝6－3＝3，所以椭圆C的标准方程为x26＋