陈雨涵毕业论文样品：函数极值问题的探讨-(1)

浅谈函数的极值问题专业名称：数学分析班级：三学生姓名：韩雨辰指导教师：刘国华完成时间：20100601河北经贸大学毕业论文I摘要在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下怎么使投入最小，产出最多，效益最高等问题。在生活中也经常会遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等问题。因此解决这些问题具有现实意义。这些经济和生活问题通常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中最大（小）值的问题。而极值的概念来自数学中的最大（小）问题。故函数极值问题的探讨也具有了其重要意义。本文在给出一元函数极值的定义的同时,探讨了一元函数极值和最值的求解方法。并在此基础上给出了多元函数极值存在的充分条件与必要条件,并对结果进行了简要的证明。将一元函数判别方法推广到多元函数极值的判别,提出了判定多元函数极值的几个方法。得到关于多元函数极值的判定法则。探讨了多元函数极值和条件极值的一般判别方法和求法,研究了适用于所有情况的降维求解法和拉格朗日乘数法,而降维求极法比拉格朗日乘数法更加直观、计算更加简便,并且同时解决了条件极值的判定问题。关键词极值;多元函数;正定负定判别法;条件极值;河北经贸大学毕业论文IIABSTRACTInindustrialandagriculturalproduction,managementoftheeconomyandtheeconomicaccounting,weoftensolvetheproblemssuchashowtomakeinputsmallest,outputmostefficientingivenconditions.Inthelifeweoftenencounterhowtoachievemaximumprofit,usetheminimummaterialsandgetmaximumefficiency,todealwiththesimilarproblemsthathaveitsrealisticsignificance.Aboveproblemscanbetransformedwithfunctionanditsfunctionofmaximumandminimumvalue.Theconceptofextremevalueoriginatefromfunctionofmaximumandminimumvalueofmathematics,thereforeapproachingtheextremevaluehavesignificancemeaning.Thisarticlegivesconceptofextremevalueforthemonadicfunctions,meanwhileobtainthemethodsofsolutionofextremevaluesforthemonadicfunctions.Basedontheextremevalueofmonadicfunctions,thispaperhasgiventhesufficientandnecessaryconditionfortheexistenceofextremumofmultivariatefunction,thecorrespondingresultsareproved.Somemethodsofdecidingtheextremevaluesforthemonadicfunctionswereappliedtodecidetheextremevaluesforthemultivariatefunctionsandthensomeeffectivemethodsofdecidingtheextremevaluesforthemultivariatefunctionswerepresented.Thisarticlehasdiscussedtwogeneralmethodsofdeterminingthetypesofextremeandconstrainedextremeofmultivariatefunctions.Withregardtotheconstrainedextremum,ithasstudiedameanscalleddegradingdimensionstocomputeextremumvalues,whichissuitableforallsituationsandismoreintuitionisticandconvenientthanLagrangeMultipliers.Besides,ithassolvedtheproblemofdeterminingthetypeofconstrainedmultivariateextremumsimultaneously.Keywordsextremevalues；multivariatefunction；decidingpositivedefinitionornegativedefinition；constrainedextremevalues；大学毕业论文1一、概述极值问题………………………………………………………1（一）极值的定义………………………………………………………1（二）一元函数极值与多元函数极值的关系…………………………2二、一元函数极值问题的求解…………………………………………3（一）一元函数极值的充分必要条件…………………………………（二）一元函数极值和最值问题………………………………………1．一元函数极值的求法……………………………………………2．一元函数最值的求法……………………………………………三、二元函数极值问题的求解…………………………………………3（一）二元函数极值的充分必要条件…………………………………（二）二元函数极值和最值问题………………………………………1．二元函数极值的求法……………………………………………2．二元函数最值的求法……………………………………………四、多元函数极值问题的求解…………………………………………4（一）多元函数极值的充分必要条件…………………………………（二）多元函数极值和最值问题………………………………………1、多元函数极值的求法……………………………………………2、多元函数最值的求法……………………………………………五、极值在实际问题中的应用………………………………………12参考文献…………………………………………………………………大学毕业论文1浅谈函数的极值问题函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征。本文研究了一元、二元、多元函数（3n）的极值和等约束条件下多元函数极值，得出了判定多元函数极值和等约束条件下多元函数极值的一系列充分和必要条件。一、简述极值问题（一）极值的定义极值的概念来自数学应用中的最值问题。定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。一元极值的定义比较简单，其定义如下：定义1设函数)(xf在0x的某个邻域有定义，如果对0x该邻域的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极大值。如果该邻域的所有的点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值。极大值和极小值统称为极值。其实极值概念是分为极值和弱极值两种，以二元极值为例其定义如下:定义2设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义,对于该邻域内任一异于),(00yx的点),(yx,(1)如果),(),(00yxfyxf,则称函数在点),(00yx处有极大值),(00yxf;大学毕业论文2(2)如果),(),(00yxfyxf,则称函数在点),(00yx处有极小值),(00yxf;定义3设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义,对于该点邻域内任一个异于点),(00yx的点),(yx(1)如果),(),(00yxfyxf,则称),(yxfz在点),(00yx处有极大值),(00yxf(2)如果),(),(00yxfyxf,则称),(yxfz在点),(00yx处有极小值),(00yxf定义3将定义2中的不等式),(),(00yxfyxf)(或),(),(00yxfyxf换为不等式),(),(00yxfyxf(或),(),(00yxfyxf,则称函数在点),(00yxf处有弱极大值(或弱极小值)。定义2和定义3的区别就在“”和“”但在实际问题中这种区别是十分明显的。在前文中一元和二元函数极值的定义都已给出，下面是多元函数极值（3n）的定义。定义4若多元函数),,,()(21nxxxfpfu于点0p的邻域内有定义,并且当pp00时,)()(0pfpf(或)()(0pfpf),则说函数)(pf在0p处取极大值(或极小值),点0p称为函数)(pfu的极值点。（二）一元极值与多元极值的关系在此我们来简单探讨一元函数与多元函数的关系，以一元函数与二元函数之间的关系为例：大学毕业论文3一元极值与二元极值的关系：如果二元函数),(yxfz在点),(00yx处取得极值则一元函数),(0yxfz及),(0yxfz在),(00yx也取得极值。但若一元函数),(0yxfz及),(0yxfz均在),(00yx取得极值，则二元函数),(yxfz在点),(00yx处不一定取得极值。故同理可得一元极值与多元极值的关系：如果多元函数在某点处取得极值，则一元函数也在该点取得极值。但若一元函数在某点处取得极值，则多元函数不一定在该点取得极值。二、一元函数极值问题的求解（一）一元函数极值的充分必要条件定理l(第一充分条件)：设函数)(xf在点0x的某邻域内连续且可导(导数)('0xf也可不存在),(1)如果0)('0)('xfxf00xxxx，则0x是)(xf的极大值点；(2)如果0)('0)('xfxf00xxxx，则0x是)(xf的极小值点；(3)如果在0x点的邻域内，)('0xf不变号，则0x不是)(xf的极值点。如果函数在某驻点具有二阶导数。也可用极值的第二充分条件判断。定理2(第二充分条件)：设函数)(xf在0x二阶可导，0)('0xf，0)(''0xf则为的极大值，反之，0)(''0xf则为的极小值。定理3（必要条件）设函数)(xf在区间I有定义，若)(00Ixx是)(xf的极值点，且)(xf在0x可导，则0)('xf.（二）一元函数极值和最值问题1．一元函数求极值方法求一元函数极值的步骤如下：（1）函数)(xf的定义域；大学毕业论文4（2）并求)('xf，并在定义域内求0)('xf的点（驻点）和)('xf不存在的点；（3）对于驻点可利用定理l或定理2判定，对于导数不存在的点利用定理1确定函数的极值点；（4）求出各极值点的函数值，得到函数的极值。2．一元函数最值的方法求函数)(xfy在],[ba上的最大值和最小值应注意以下几点：（1）若)(xfy在],[ba上单调增（减）的，则)(af是其最小（大）值，)(bf是其最大（小）值。（2）若)(xfy在),(ba内只有一极值点（唯一驻点）且此极值是极大（小）值，则它也是)(xfy在],[ba上的最大（小）值，常称这些函数为单峰（单谷）函数。（3）若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续，求函数的最值时，需求出区间内函数的全部极值和区间端点处的单侧极限，如果单侧极限最大（小）值，则函数在该区间内无最大（小）值，因而在开区间或无穷区间上连续的函数不一定有最值。（4）除以上三种特别情况外，一般按下述步骤求)(xfy在],[ba上的最值。①求出)('xf并在),(ba内求出其驻点和不可导点（不必判断这些驻点和不可导点是否为极值点，但函数在这些点必有定义）。②计算)(xf在这些点的值，且求出)