高等数学测试题及解答上部分1-6章

《高等数学》单元测试及详细解答第1页第六单元定积分的应用一、填空题1、由曲线eyeyx,及y轴所围成平面区域的面积是______________。2、由曲线23xy及直线xy2所围成平面区域的面积是____________。3、由曲线1,1,1,12xxyxxy所围成平面区域的面积是_______。4、由曲线xxeyey,与直线1x所围成平面区域的面积是_________。5、连续曲线),(xfy直线ax，bx及x轴所围图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积v__________，绕y轴旋转一周而成的立体的体积v____________。6、抛物线axy42及直线)0(00xxx所围成的图形绕x轴旋转而成的立体的体积______。7、渐伸线)sin(costttax，)cos(sintttay上相应于t从0变到的一段弧长为______。8、曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积_______A。9、界于xx,0之间由曲线xyxycos,sin所围图形的面积S_______。10、对数螺线aer自0到的弧长_________l。11、心形线)cos1(4和直线2,0围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为____________。二、选择题1、曲线)0(ln,ln,lnbabyayxy及y轴所围图形的面积A（）。（A）baxdxlnlnln；（B）baeexdxe；（C）baydyelnln；（D）baeexdxln。2、曲线cos2ar所围面积A（）。（A）202)cos2(21da；（B）da2)cos2(21；《高等数学》单元测试及详细解答第2页（C）202)cos2(21da；（D）202)cos2(212da。3、曲线aer及,所围面积A（）。（A）02221dea；（B）20222dea；（C）dea22；（D）dea222。4、曲线)1ln(2xy上210x一段弧长s（）。（A）dxx21022111；（B）dxxx2102211；（C）dxxx2102121；（D）dxx21022)]1[ln(1。5、双纽线22222)(yxyx所围成的区域面积可用定积分表示为（）（A）402cos2d；（B）402cos4d；（C）402cos2d；（D）402)2(cos21d。6、22,yxxy绕y轴所产生的旋转体的体积为（）（Ａ）53；（Ｂ）103；（Ｃ）2；（Ｄ）43。７、曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度（）（Ａ）)(323232ab；（Ｂ）)(323434ab；（Ｃ）])1()1[(322323ab；（Ｄ）])1()1[(922323ab。8、曲线xysin的一个周期的弧长等于椭圆2222yx的周长的（）（Ａ）1倍；（Ｂ）2倍；（Ｃ）3倍；（Ｄ）4倍。三、计算解答《高等数学》单元测试及详细解答第3页1、求抛物线342xxy及其在)3,0(和)0,3(处的切线所围成图形的面积。2、求双纽线2sin22ar所围图形的面积。3、求由平面图形)40(0,sincosxyxxy绕x轴旋转的旋转体体积。4、求摆线)cos1(),sin(tayttax的一拱及0y绕x轴旋转的旋转体的体积。5、求心形线)cos1(ar的全长，其中0a是常数。6、求由曲线,2,1xxxy及2y所围图形的面积。7、计算底面是半径R为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。《高等数学》单元测试及详细解答第4页第六单元定积分的应用测试题详细解答一、填空题1、1xey与ey及y轴交点为)1,0(),,1(e，取x微积分变量则1||)(101010xxeexdxeeS2、33223xy与xy2交点为)2,1(),6,3(，取x微积分变量则332]313[]2)3[(1323132xxxdxxxS。3、2)1(12121)11(211211112112xdxxdxxdxdxxxS2|)1(3221211232x。4、21ee2][)(11010eeeedxeeSxxxx。5、由旋转体体积公式知：dxxfba2)]([，dxxxfba)(2。6、202xa200022400xaaxdxdxyVxx。7、22a,sin,costatdtdytatdtdx200222)sin()cos(aatdtdttattatS。8、1237)2)(1(xxxy，零点为,2,0,1321xxx则1237)2()2(20230123dxxxxdxxxxA。9、2420|cossin|dxxxA24)sin(cos)cos(sin)sin(cos24545440dxxxdxxxdxxx10、)1(12aeaa由极坐标弧长公式得所求的弧长《高等数学》单元测试及详细解答第5页daeedrrSaa022022)()()(')()1(11202aaeaadea11、160由)cos1(4得sin)cos1(4,cos)cos1(4yx，0时8，由元素法ddxyV)cossin2(sin4sin)cos1(162202022022160)cos21(sin)cos1(64d。二、选择题1、选（C）。以x为积分变量badxxbabaS)ln(ln)ln(ln，以y为积分变量dyeSybalnln。2、选（D）。由极坐标曲边扇形面积公式dA2)]([21，知202222)cos2(212)cos2(21dadaA。3、选（D）。deaAeaaedA2222221,21)(21。4、选（B）。dxxxdxxxdxxS21022210222102211121)]'1[ln(1。5、选（A）。由方程可以看到双纽线关于x轴、y轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单：2cos2。其在第一象限部分的变化范围是：]4,0[。再由对称性得4040212cos22144ddSS。6、选（B）。绕轴旋转所得旋转体的体积《高等数学》单元测试及详细解答第6页103)5121()(1052102210yydyyydyV。7、选（C）。,'21xy从而弧长元素dxxdxxds1)(1221，所求弧长为])1()1[(32])1(32[1232323abxdxxsbaba。8、选（A）。设1L为曲线xysin的一个周期的弧长，2L为椭圆2222yx的周长，显然2022021cos1'1dxxdxyL，将椭圆化成参数方程)20(sin2cosyx则20220222cos1)sin2()sin(dxxdxL从而有1L=2L。三、计算解答1、解：切线方程分别为34xy和62xy，其交点坐标是)3,23(，49)34()62()34(302323230dxxxdxxdxxS。2、解：由对称性20222022sin212adadrS。3、解：24)cossin21()sin(cos402402dxxxdxxxV。4、解：dttattadtaV32032220)cos1()]sin([)cos1(32322035)coscos3cos31(adtttta。5、解：由极坐标系下的弧微分公式得dadadrrds|2cos|2sin)cos1()(')(2222，由于)cos1()(arr以2为周期，因而的范围是]2,0[。又由于《高等数学》单元测试及详细解答第7页)()(rr，心形线关于极轴对称。由对称性，adadss82cos4)(200。6、解：由于xxy1在1x处取极小值所以可得2,1,1xxxxy所围图形面积为212ln|)2ln21()21(21221xxxdxxxA。7、解：取固定直径为x轴，x为积分变量且],[RRx，过点x且垂直于x轴的立体截面面积为)(3)(22xRxA于是302222334)(32)(3)(RdxxRdxxRdxxAVRRRRR。第九单元重积分一、填空题1、设,为常数，则Ddyxgyxf,,=______________________2、区域D由闭区域21,DD构成，则Ddyxf,=______________________3、设函数yxfz,在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点,使得Ddyxf,=______________________4、计算Dxyd=______________________，其中D是由直线xyxy,2,1所围成的闭区域。5、设D是顶点分别为1,0,2,1,0,1,0,0的直边梯形，计算Dydx1=______________________6、改变下列二次积分的积分次序1010fdydx=______________________；《高等数学》单元测试及详细解答第8页21222xxxfdydx=______________________；10313020yyfdxdyfdxdy=______________________；xudvvfdu00=______________________；7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分422yxdxdyyx=__________________________；xyxdxdyxyyxf22222arctan,=__________________________；Dyxdxdye22=______________________(xyyxyxD,41,22)；8、二重积分Dyxdxdye22=__________________________，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。9、将下列三重积分化为三次积分dvzyxf,,=__________________________，为曲面22yxz及平面1z所围成的闭区域；dvzyxf,,=__________________________，为曲面222yxrz及xoy面所围成的闭区域；10、区域为三坐标面及平面12zyx所围成的闭区域，则三重积分dxdydzx=__________________________.二、选择题1、4321,,,DDDD分别为单位圆盘122yx在一、二、三、四象限的部分，则12Dydx=（）(A)22Dydx