高数下册单元测试题完全版

高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-1-目录第9章单元测试题...............................................................................................................................................-1-第9章单元测试题参考答案...............................................................................................................................-2-第10章单元测试题.............................................................................................................................................-7-第10章单元测试题参考答案.............................................................................................................................-8-第11章单元测试题...........................................................................................................................................-14-第11章单元测试题参考答案...........................................................................................................................-14-第12章单元测试题...........................................................................................................................................-18-第12章单元测试题参考答案...........................................................................................................................-18-第9章单元测试题1．计算下列各题（每小题5分，共20分）（1）设)1ln()1(yxxezyx+++=+，求(1,0)dz．（2）设函数181261),,(222zyxzyxu+++=，向量(1,1,1)n=，求(1,2,3)un∂∂．（3）设),(xyzzyxfz++=，求xz∂∂.（4）求旋转抛物面122−+=yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程．2．(本题10分)设22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，求(,)fxy的偏导数．3．(本题10分)设(,)wfxyzxyz=++，f具有二阶连续偏导数，求xw∂∂和zxw∂∂∂2.4．(本题10分)设)(uf具有二阶连续导数，且)()(),(yxyfxyfyxg+=，求.222222ygyxgx∂∂−∂∂5．(本题10分)求曲线6222=++zyx，0=++zyx在点(1,2,1)−处的切线及法平面方程.6．(本题10分))cos(cossinyxyxz−++=（0,2xyπ），求z的极值．7．(本题15分)已知函数),(yxfz=的全微分ydyxdxdz22−=，并且2)1,1(=f，求),(yxfz=在椭高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-2-圆域}14),{(22≤+=yxyxD上的最大值和最小值.8．(本题15分)设函数(,)()()()xyxyuxyxyxytdtϕϕψ+−=++−+∫，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，求22ux∂∂，2uxy∂∂∂，22uy∂∂.第9章单元测试题参考答案1．计算下列各题（每小题5分，共20分）（1）设)1ln()1(yxxezyx+++=+，求(1,0)dz．解：)1ln(yxeexzyxyx+++=∂∂++，yxxeyzyx+++=∂∂+11，则(1,0)dz2(2)edxedy=++．（2）设函数181261),,(222zyxzyxu+++=，向量(1,1,1)n=，求(1,2,3)un∂∂．解：函数(,,)uxyz沿单位向量0(cos,cos,cos)nαβγ=的方向导数为：γβαcoscoscoszuyuxunu∂∂+∂∂+∂∂=∂∂本题n(,,)mnl=非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：2221cos3mmnlα==++，2221cos3nmnlβ==++，2221cos3lmnlα==++因为3xxu=∂∂，6yyu=∂∂，9zzu=∂∂，于是所求方向导数为(1,2,3)un∂∂11111133333333=⋅+⋅+⋅=．（3）设),(xyzzyxfz++=，求xz∂∂.解：令,zyxu++=,xyzv=则),,(vufz=高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-3-把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz∂∂)1(xzfu∂∂+⋅=),(xzxyyzfv∂∂+⋅+整理得xz∂∂1uvuvfyzffxyf+=−−．（4）求旋转抛物面122−+=yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程．解：,1),(22−+=yxyxf(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)nxy=−(4,2,1)=−，切平面方程为,0)4()1(2)2(4=−−−+−zyx即0624=−−+zyx法线方程为214421xyz−−−==−．2．设22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，求(,)fxy的偏导数．解：当(,)(0,0)xy≠时，22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx+⋅−+=,)()(22222yxxyy+−=22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy+⋅−+=,)()(22222yxyxx+−=当(,)(0,0)xy=时，按定义可知xfxffxxΔ−Δ=→Δ)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=Δ=→ΔxxyfyffyyΔ−Δ=→Δ)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=Δ=→Δyy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=yxyxyxyxxyxfy3．设(,)wfxyzxyz=++，f具有二阶连续偏导数，求xw∂∂和zxw∂∂∂2.解：令,zyxu++=;xyzv=记,),(1uvuff∂∂=′,),(212vuvuff∂∂∂=′′同理有,2f′,11f′′.22f′′高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-4-=∂∂xwxvvfxuuf∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂;21fyzf′+′==∂∂∂zxw2)(21fyzfz′+′∂∂;221zfyzfyzf∂′∂+′+∂′∂==∂′∂zf1zvvfzuuf∂∂⋅∂′∂+∂∂⋅∂′∂11;1211fxyf′′+′′==∂′∂zf2zvvfzuuf∂∂⋅∂′∂+∂∂⋅∂′∂22;2221fxyf′′+′′=于是=∂∂∂zxw21211fxyf′′+′′2fy′+)(2221fxyfyz′′+′′+.)(22221211fyfzxyfzxyf′+′′+′′++′′=4．设)(uf具有二阶连续导数，且)()(),(yxyfxyfyxg+=，求.222222ygyxgx∂∂−∂∂解：)()(2yxfxyfxyxg′+′−=∂∂，)(1)()(242322yxfyyxfxyxyfxyxg′′+′′+′=∂∂，)()()(1yxfyxyxfxyfxyg′−+′=∂∂，)()(12222yxfyxxyfxyg′−′′=∂∂)()(322yxfyxyxfyx′′+′+所以222222ygyxgx∂∂−∂∂).(2xyfxy′=5．求曲线6222=++zyx，0=++zyx在点(1,2,1)−处的切线及法平面方程.解：方程两边对x求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−=+1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy⇒,zyxzdxdy−−=,zyyxdxdz−−=⇒(1,2,1)0,dydx−=(1,2,1)1,dzdx−=−由此得切向量(1,0,1),T=−切线方程为,110211−−=+=−zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(=−−+⋅+−zyx即0=−zx.6．(本题10分))cos(cossinyxyxz−++=（0,2xyπ），求z的极值．高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-5-解：⎩⎨⎧=−+−==−−=0)sin(sin0)sin(cosyxyzyxxzyx，求得驻点：,36ππ⎛⎞⎜⎟⎝⎠驻点处2222233,,32zzzABCxxyy∂∂∂==−====−∂∂∂∂，20BAC−，且0A，故驻点,36ππ⎛⎞⎜⎟⎝⎠为函数的极大值点，函数的极大值为33,362zππ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠．7．已知函数),(yxfz=的全微分ydyxdxdz22−=，并且2)1,1(=f，求),(yxfz=在椭圆域}14),{(22≤+=yxyxD上的最大值和最小值.解：由题设，知xxf2=∂∂，于是)(),(2yCxyxf+=，此式关于y求偏导数，由yyf2−=∂∂，得yyC2)(−=′，从而CyyC+−=2)(，再由2)1,1(=f，得2C=，故.2),(22+−=yxyxf令0,0=∂∂=∂∂yfxf得可能极值点为0xy==，且(0,0)2f=.再考虑其在边界曲线1422=+yx上的情形：令拉格朗日函数为)14(),(),,(22−++=yxyxfyxFλλ，求偏导数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−+=′=+−=+∂∂=′=+=+∂∂=′,014,02122,0)1(2222yxFyyyyfFxxxfFyxλλλλλ得可能的条件极值点4,2,0===λyx；4,2,0=−==λyx；1,0,1−===λyx；.1,0,1−==−=λyx代入(,)fxy得,2)2,0(−=±f3)0,1(=±f，可见(,)fxy在区域高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-6-}14),{(22≤+=yxyxD内的最大值为3，最小值为−2.;注1：椭圆域内的点(0，0)是否极值点无需判断！;注2：考虑在边界曲线1422=+yx上的情形：因为4122yx−=，只需考虑4532)41(),(222yyyyxf−=+−−=在[―2，2]上的最值.显然3)0,1(=±f最大，2)2,0(−=±f最小，2)0,0(=f不是最值.8．设函数(,)()()()xyxyuxyxyxytdtϕϕψ+−=++−+∫，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，求22ux∂∂，2uxy∂∂∂，22uy∂∂.解：)()()()(yxyxyxyxxu−−++−′++′=∂∂ψψϕϕ，)()()()(yxyxyxyxyu−+++−′−+′=∂∂ψψϕϕ，)()()()(22yxyxyxyxxu−′−+′+−′′++′′=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2yxyxyxyxyxu−′++′+−′′−+′′=∂∂∂ψψϕϕ，)()()()(22yxyxyxyxyu−′−+′+−′′++′′=∂∂ψψϕϕ，可见有2222yuxu∂∂=∂∂.高等数学下册单元测试题完全版高等数学