2015考研数学强化-线性代数(章飞)讲义

课程铸就品质服务感动学员12015考研数学强化班线性代数讲义课程铸就品质服务感动学员2第一讲行列式一、理论强化1．行列式的定义2n个数),,2,1,(njiaji排成n行n列的方形表)(det)1(212121,,212222111211ijjnjjjjjnnnnnnaDAAaaaaaaaaaaaann称为一个n阶行列式，n阶行列式是一个数，它等于所有来自不同行，不同列的n个元素的乘积1211,,,njjnjaaa的代数和．其中12,,njjj是1,2,n的一个排列．1n时，1111aa为一阶行列式．2．行列式的性质（1）行列式转置后，其值不变，TDD（表示行列地位平等）；（2）行列式某行（列）的元素的公因子k，可以提到行列式符号外；（3）行列式具有分行（列）相加性；例：fedbfecafedcba；（4）行列式中有两行（列）元素成比例时，其值为0；（5）互换行列式两行（列），行列式变号；（6）把某行（列）的k倍加到另一行（列）后，行列式值不变．3．行列式的余子式、代数余子式把jia所在的i行，j列划去余下来的1n阶行列式称为D的元素jia的余子式记为jiM；称(1)ijijijAM为D的元素jia的代数余子式．*4．行列式展开定理定理1．行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和：),,2,1(),,2,1(11njAaniAaDjinijijinjji．定理2．1,,0,,nkjijjDkiaAki10,,,.nikijikjaADkj5．方阵的行列式设A、B为n阶方阵，则①11AA；②AkkAn；③1nAA；④BABAAB；⑤||||||ABAB．二、常用结论1．上（下）三角形行列式nnaaa0*2211＝nnaaa2211，nnaaa*02211＝nnaaa2211．2．副对角行列式课程铸就品质服务感动学员311(1)2(1)2(1)212(1)3(2)111*0(1)0*nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa．3．范德蒙行列式)(1111111312112232221321jijinnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxD．4．分块行列式①BABCABCA00；②0(1)0mmmmmnnnnnACAABBCB；③ABADBCCD．三、题型强化1．具体行列式的计算方法一：三角形法（基础题）求4124120233200112D．（答案：50）．1234123412341234axaaaaaxaaDaaaxaaaaax例：求abbbbabbDbbabbbba课程铸就品质服务感动学员4例：求011211111(0)1ninaaDaaa．例：求1243411112222(0)33334444iaaDaaa．方法二：展开法-3-2-4-2-2=0-4-2-3求方程的根方法三：递推法：例：求21000121002000012nD．方法四：利用范德蒙行列式例：222abcDabcbccaab课程铸就品质服务感动学员5222323111122223333nnnnDnnnn方法五：拆项法例：已知232311111111124812480.104150351211xxxxxxx则．方法六：分块法例：设212322212223()333245354435743xxxxxxxxfxxxxxxxxx，则()fx的根的个数为（）．(A)1(B)2(C)3(D)4:题型2．抽象行列式（方阵行列式）的计算（基础题）设A是三阶方阵，21A，求AA2)3(1．（答案：16/27)123123122313,,=,,1,=+++ABB例：设是三维列向量，记A且若，，，则例：设,AB是n阶方阵，2,A3,B1,AB求11AB．例：（04-1，2）设矩阵100021012A，矩阵B满足EABABA2，则_____B．3．有关余子式的计算方法：利用行列式展开定理3132331234511122=321462221143150DAAA，求课程铸就品质服务感动学员630402222=07005322D，求第四行个元素代数余子式之和第二讲矩阵§1、矩阵及其运算一、理论强化1矩阵的概念()mnijmnAa（是一个数表）．2矩阵的运算（1）线性运算(+),();ijijmnijmnABabAka加法数乘k（2）乘法运算mnmssnCAB(条件：左矩阵列数=右矩阵行数)；运算性质：（i）BAAB00AAB或0B；（ii）ACABCBA)(，CABAACB)(；（3）方阵的幂mAAAA满足()mnmnAA，但()mmmABAB；（4）转置设(),ijmnAa则()TjinmAa．运算性质：（i）()TTAA；（ⅱ）()TTkAkA；（ⅲ）()TTTABAB；（ⅳ）()TTTABBA．*⑸伴随阵*A(ⅰ)定义设(),ijnnAa则1121112222*12()nnjinnnnnnnnAAAAAAAAAAA为A的伴随阵．（ⅱ）基本公式**||AAAAAE．*⑹可逆阵（非奇异阵）(ⅰ)定义对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使ABBAE,则称A可逆，B为A的逆阵，记1AB．注1A唯一，且11AAAAE．(ⅱ)A可逆的充要条件n阶方阵A可逆||0A存在n阶方阵B使得ABE或BAE()RAnA的行（列）向量组线性无关方程组Ax0只有零解12sAPPP（其中iP为初等方阵）；（ⅲ）逆阵公式1*1||AAA；（ⅳ）性质①11()AA；②111()(0)kAAkk；③11()()TTAA；④111()ABBA；⑤111()ABAB．3.分块矩阵（1）概念将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元课程铸就品质服务感动学员7素的形式上的矩阵称为分块矩阵．如123422440002100001000010AAAAA例：100001000010001000121000131110100214010010121AB，，则AB=（2）运算性质分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似，但要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与的子块也能运算，即内外都能运算．（3）常用的分块（ⅰ）列分块121,,,mnnnA，i——1n．（ⅱ）行分块121mnmmA，i——1n．（ⅲ）A0x的分块12121122()nnnnxxAxxxx000x．（ⅳ）OAB的分块1212(,,)(0,0,0)(,,)(0,0,0)nnABAAAA00(1,2,)iAin．结论：若OAB，则B的列向量i是方程组A0x的解．（V）分块对角阵1sAA．二、常用结论1.设,为n维列向量，TA,则1()nTnAA．2．①*1||AAA；②kA*=1nk*A；③1*()A=*1()A；④***()ABBA．3.1110000AABB，1110000ABBA．4．1122nnnAAAA．课程铸就品质服务感动学员8三、题型强化1．求nA．方法：数学归纳法、拆项法、分块法、利用常用结论1、相似对角化法1013101-120100302-24001002-11-2AAA例：222,,,0nABBABABABBA阶矩阵满足A证明：2.逆阵的计算或证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法例：123045002A，则1()A__________方法二：初等变换法求具体矩阵的逆例：223110121A，求1A例：1240AAEAE若，求例：设TAE，其中,是n维列向量，且2T，证明：A是可逆阵，并求1A．例：设,AB是n阶矩阵，EAB可逆，证明EBA可逆．例：设0,ia1,2,...in，121000000000000nnaaAaa，求1A．*题型3.解矩阵方程（基础题）设矩阵301110014A，且2AXAX，求矩阵X．（答案：522432223）例：设矩阵111111111A，且*11(2)()84AXAX，求矩阵X．课程铸就品质服务感动学员9§2、初等变换与矩阵的秩一、理论强化1．初等变换初等行变换(ijrr，irk(0),k)ijrki初等列变换(ijcc，ick(0),k)ijckc*2．初等方阵（1）．定义：由单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵．如：13312(2)11021010(1,3(2))1001rrccEE．(2)．共三种①101(,)101Eij（对应ijrr或ijcc）；②1(())1Eikk（对应irk或(0)ickk）；③11(,())11kEijk（对应ijrkr或（)jickc）．(3)．性质①1(,)(,)EijEij；11(())(()kEikEi；1(,())(,())EijkEijk如11102102(1,3(2))010010(1,3(2))001001EE；②初等方阵与初等变换的关系1ABPAB一次行变换，其中1P为相应的初等方阵，AB一次列变换A1Q=B，其中1Q为相应的初等方阵，如12110201201110(1,2)123123rrABEAB．*3．矩阵等价⑴概念：若AB有限次初等变换，称A与B等价，记AB．⑵性质①,mnmnABAB同型且()()RARB可逆阵,mnPQ使mnPAQB．②000rEA，其中()rRA．*4．矩阵的秩课程铸就品质服务感动学员10(1)．概念()RAr至少有一个r阶子式0rD(())RAr，所有1r阶子式1=0rD(())RAr．如123401252468A，110D,()1RA,212=001D（()2RA），所有30D（()2RA），()2RA．(2)．性质若BA~，则()()RARB．二、常用结论1．00,()10;ARAA2．设()ijmnAa，则()()()min{,}(0)TRARARkAmnk；3．设A为n阶矩阵，则||0,()||0;nARAnA4．()min{(),()}RABRARB；5．()()()RABRARB；6．设0mnnsAB，则()()RARBn；7．(),(