概率与统计-高考文科数学专题复习

概率与统计一、选择题1．【2018蒙古鄂伦春自治高三下学期二模】如图，矩形的长为，宽为，以每个顶点为圆心作个半径为的扇形，若从矩形区域内任意选取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A.B.C.D.【答案】D点睛：应用几何概型求概率的方法：（1）一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，然后建立与体积有关的几何概型．2．三【2018衡水金卷高三二模】世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（）A.B.C.D.【答案】A3．【2018黑龙江大庆高三质检二】下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是()①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：④寿命超过的频率为0.3A.①B.②C.③D.④【答案】B【解析】若①正确，则对应的频率为，则对应的频率为，则②错误；电子元件的平均寿命为，则③正确；寿命超过的频率为，则④正确，故不符合题意；若②正确，则对应的频率为，则①错误；电子元件的平均寿命为，则③错误；寿命超过的频率为，则④错误，故符合题意.故选B.4．【2018黑龙江大庆高三质检二】在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四)加上中间小正方形的面积(黄实)等于大正方形的面积(弦实)”.若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为()A.B.C.D.【答案】D5．【2018江西新余高三二模】为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】C6．【2018湖北荆州质检二】如图，半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为,,,ABCD，这四个小圆都与圆O内切，且相邻两小圆外切，则在圆O内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A.34B.23C.3322D.4322【答案】C【解析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为21r，阴影部分恰好合为三个小圆，面积为23r，大圆的面积为2221322rr.∴所求概率为2233322322rPr故选C.7．【2018安徽宣城高三二调】通过模拟试验，产生了20组随机数71303013705574307740412278842604334609526107970657745725657659291768607191386254每组随机数中，如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）A.320B.15C.14D.920【答案】B8．【2018重庆高三4月二诊】如图，在矩形ABCD中，2AB，3AD，两个圆的半径都是1，且圆心1O，2O均在对方的圆周上，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.2312B.42324C.106336D.83336【答案】D【解析】如图所示，分别连接1212,,,MOMONONO，则1212,MOONOO分别为边长为1的等边三角形，所以其面积分别为121234MOONOOSS，其中拱形1MO的面积为121221133123464MOOMOOSSS扇形，所以阴影部分的面积为23343212446432S阴影，所以概率为438333223636SP阴影，故选D．9．【2018湖南衡阳高三二模】已知样本12,,,nxxx的平均数为x；样本12,,,myyy的平均数为yxy,若样本12,,,nxxx，12,,,myyy的平均数zax1ay；其中10a2,则*,,nmnmN的大小关系为()A.nmB.nmC.nmD.nm【答案】C10．【2018山东枣庄高三二模】七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.316B.38C.14D.18【答案】C11．【2018湖南郴州高三质检二】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A.8B.16C.18D.116【答案】C【解析】正方形面积为28，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为22242418，所以黑色区域的面积为288，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为2288188P，故选C.二、解答题12．【2018蒙古鄂伦春自治高三下学期二模】根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：降水量工期延误天数0136根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）求这天的平均降水量；（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数的概率.【答案】（1）433（2）见解析（2）∵的天数为∴的频率为，故估计的概率为.∵的天数为∴的频率为,故估计的概率为.∵的天数为∴的频率为，故估计的概率为.∵的天数为∴的频率为，故估计的概率为.13．【2018安徽安庆高三二模】在党的十九大报告中,习近平总书提出“水青山就是金山银山”;为响配习总书记的号,某市旅前局计划共投入4千万元,对全市各旅区的环境进行综合治理,并且对各放游量区收益的增加值作了初步的估计,根据旅游局的治理规划方案,针对各旅游景区在治理后收益的增加值,工作人员绘了下面的频率分布直方图(如图所示),由于操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的,(I)频率分布直方图中各小长方形的宽度相等,求这个宽度；(II)旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收量增加值的平均数为多少万元(以各组的区间中点值代表该组的取值)(III)若旅游局投入的不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：投入饿治理经费x（单位：千万元）1234567收益的增加值y（单位：万元）232779请将(II)的答案填入上表的空白栏，结果显示x与y之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还计划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？（答案精确到0.01）附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：【答案】（1）2（2）5（3）8.12试题解析：（解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1可得,，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为.（Ⅲ）空白栏中填5.由题意可知，，，.根据公式可求得，所以回归直线方程为.当时，.即旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.14．【2018东莞高三二模】近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数（户）与扶贫后脱贫家庭数（户）的数据关系如下：政府扶贫资金数（万元）3579政府扶贫贫困家庭数（户）204080100扶贫后脱贫家庭数（户）10307090(Ⅰ)求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少；（答案精准到0.1%）(Ⅱ)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).试题解析：(Ⅰ)几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是.(Ⅱ)由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为，共28种，符合题意的情况有共7种，故所求概率为.15．【2018东北三省四市高三二模】树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（I）求出的值；（II）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.【答案】(1)0.035;(2)见解析;(3)见解析.试题解析：（1）由，得，（2）平均数为岁；设中位数为，则，∴岁．（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为.设从5人中随机抽取3人，为（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含（），（），（），（），（），（）共6个基本事件从而第2组抽到2人的概率16．【2018江西新余高三二模】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，第一组：20,25，第二组：25,30，第三组：30,35，第四组：35,40，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．（1）求x；（2）求抽取的人的年龄的中位数（结果保留整数）；（3）