《实变函数》第四章-可测函数

第1页（共15页）第四章可测函数（总授课时数14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue可测函数，并讨论其性质和结构.§1可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.本节难点可测函数与简单函数的关系.授课时数4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()fx是可测集E上的实函数(可取)，若[],faaRE可测，则称()fx是E上的可测函数.2可测函数的性质性质1零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2简单函数是可测函数若1niiEE(iE可测且两两不交），()fx在每个iE上取常值ic，则称()fx是E上的简单函数；1()()iniEifxcx其中1()0iiEixExxEE注：Dirichlet函数是简单函数性质3可测集E上的连续函数()fx必为可测函数设()fx为E上有限实函数，称()fx在0xE处连续00(,)((),)0,0,()xfxfOEO若使得对比：设()fx为,ab上有限实函数，0()(,)fxxab在处连续00lim()()xxfxfx若第2页（共15页）000,0,|||()()|xxfxfx即当时，有00(,)((),)0,0,()xfxxOfxO即当时，有00(,)((),)0,0,()xfxfOO即使得()fx在0[,]xab处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取xEfa,则fxa,由连续性假设知，对(),0,xfxa使得(,)((),)()(,)xxfxfOEOa即(,)[]xxfaOEE.令[](,)xfaxxEGO则G为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()xxfafaxxfaxExEGEOEOEE所以[][](,)()xfafaxxEEOEGE，故[]faEGE为可测集性质4R中的可测子集E上的单调函数()fx必为可测函数。证明：不妨设f单调增，对任意aR令inf{|()}aIxfxa.由f单调增知下面的集合为可测集[][,){|()}(,){|()}aafaaaEIIxfxaEEIIxfxa当当⒊可测函数的等价描述⒈定义：设()fx是可测集E上的实函数，则()fx在E上可测（即（1）[],faaRE可测）[](2),faaRE可测[](3),faaRE可测[](4),faaRE可测第3页（共15页）[](5),,,afbabRabE可测（充分性要求|()|fx）证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及[]11[]fanfanEE，[][][]1()faafanfnEEE，[]11[]fanfanEE，[][][]afbfafbEEE对前面等式的说明[]1111[][]()fannfafannEEE，1111[,)(,)([,))nnaaann1111(,)[,)((,))nnaaann，[]1111[][]()fannfafannEEE⒋可测函数的性质⑴可测函数关于子集、并集的性质若()fx是E上的可测函数,11,EEE可测，则()fx限制在1E上也是可测函数；反之，若1nnEE,()fx限制在nE上是可测函数，则fx在E上也是可测函数。1[][]1[][]1fafafanfanEEEEE注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即：设()()fxgx..ae（almosteverywhere）于E，()fx在E上可测，则()gx在E上也可测若0fgmE,则称()()fxgx在E上几乎处处成立,记作()()fxgx..ae于E.证明：令12,fgfgEEEE，则10mE，从而()gx在1E上可测，另外()fx在2E上可测，从而()gx在2E上也可测，进一步gx在12EEE上也可测.注：用到了可测函数关于子集、并集的性质⑵可测函数类关于四则运算封闭第4页（共15页）若(),()fxgx是E上的可测函数,则()(),fxgx()(),fxgx()(),fxgx()/()fxgx仍为E上的可测函数.证明：只要证,fgafagaREE可测，任取fagxE，则fxagx从而,rQ使()(),fxragx即[][]()frgarrQxEE从而[][][]()fagfrgarrQEEE，反之[][][]()frgarfagrQEEE也成立，从而[][][]()fagfrgarrQEEE可测类似可证：设,fxgx是E上可测函数，则[]fgE为可测集.若,fxgx是E上的可测函数,则fxgx仍为E上的可测函数.证明：首先2fx在E上可测，因为对任意aR2[][][]00fafafaEaEEEa再利用2214fxgxfxgxfxgx即可作业：若,fxgx是E上的可测函数,则fxgx,/fxgx为E上的可测函数⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.若nfx是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数.()sup{()}()inf{()}nnxfxxfxlimsup()infsup{()}nmnnmnfxfxliminf()supinf{()}nmnmnnfxfx[][][][]11nnafaafannEEEE推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。对上式的说明：第5页（共15页）()inf{()}nxfx，[][]1nafanEE比较：[]1111[][]fannfafannEEE例：1R上的可微函数fx的导函数'fx是可测函数证明：由于1()()()()'()limlim1xonfxfxfxxfxnfxxn从而'fx是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故'fx是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.例设nf是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.证明：发散点全体为[limlim]nnnnEff；收敛点全体为[limlim]nnnnEff再利用limnnf和limnnf是可测函数即可注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同⒌可测函数与简单函数的关系可测函数()fx总可表示成一列简单函数的极限若()fx是E上的可测函数,则()fx总可表示成一列简单函数{()}nx的极限()lim()nnfxx，而且还可办到12|()||()|xx122[]0,1,2,,212[]()nkknnnkfknnfnxExnxE注：当()fx是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛——————————————————————————————作业：P983,4,6练习题1任何点集E上的常值函数(),fxcxE是可测函数，对吗？2已知“若()fx在E上可测，则1,[]aREfa可测”，反之，若1,[]aREfa可第6页（共15页）测，能断定()fx在E上可测吗？3从函数2()fx或()fx可测能否推出()fx在E上可测？4由()()fxgx可否推出()fx、()gx都可测？5能否断定“零集上任何函数均可测”？§2叶果洛夫定理教学目的1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）等概念，弄清它们之间的区别与联系.2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明.教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容.本节难点叶果洛夫定理的证明.授课时数3学时——————————————————————————————在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛.例：函数列(),1,2,nnfxxn在(0,1)上处处收敛到()0fx,但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但去掉一小测度集合1,1,在留下的集合上一致收敛。著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立.引理：设mE，nf，f在E上几乎处处有限且可测，若..nffae于E，则0,有[||]lim()0nffNnNmE证明：由于*[||][||]1()nffnEEE为零测度集，故不妨令,nff在E上处处有限，从而有：1[][||]11..0()0nnknffffkNnNffaeEmEmE于1[||]11()0()nkffNnNmEk[||]1()0()nffNnNmE从而当mE时，0有第7页（共15页）[||][||][||]1lim()(lim)()0nnnffffffNnNNnNNnNmEmEmE（）定理1(ЕгОРОВ)设mE，,nff在E上几乎处处有限且可测，若..nffae于E，则..nffau于E（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）..nffae于E，即[]0nffmE即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛..nffauE于即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛证明：由引理知0有[||]lim()0nffNnNmE，从而有10,0,0,kNk1[||]()2nkkkffnNmE令1[||]1()nkkffknNeE，则e可测，eE，1[||]11()2nkkkffknNkmemE而1[||]1()nkcffknNkEEeEeE故1kkNnNxEk，，，，有1|()()|nfxfxk即{()}nfx在E上一致收敛到()fx注：叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE或mE，即：若..nffau于E，则..nffae于E证明：由条件知1n,存在可测集nEE，使1()nmEEn，且nfx在nE上一致收敛于()fx，当然nfx在nE上点点收敛于fx，令1nnEE，则1()()0()nmEEmEEnn，从而第8页（共15页）()0mEE另外显然nfx在1nnEE上点点收敛于()fx所以nfx在E上..ae收敛于()fx.注:叶果洛夫定理中条件mE不可少.例1(0,]()0(,)nxnfxxn在R上处处收敛于()fx=1,但nfx不几乎一致收敛于()fx于R.几