数学模型姜启源-第三章(第五版)

第三章简单优化模型优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题.用数学建模方法解决优化问题的过程简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解.材料强度最大运输费用最低利润最高风险最小优化目标与决策模型假设与建立数学求解与分析属于数学规划的优化模型在第四章讨论.3.1存贮模型3.2森林救火3.3倾倒的啤酒杯3.4铅球掷远3.5不买贵的只买对的3.6血管分支3.7冰山运输3.8影院里的视角和仰角3.9易拉罐形状和尺寸的最优设计第三章简单优化模型3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考•每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元.日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.•10天生产一次,每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元.•50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元.平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次,平均每天费用最小吗?每天费用5000元•是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数——每天总费用的平均值.•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用(二者之和)最小.模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天(一周期)生产一次,每次生产Q件，当贮存量降为零时，Q件产品立即生产出来(生产时间不计)；建模目的r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小.4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用2~21QTccC每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化20()dTcqtt一周期贮存费为A2221rTccrTQ=QT/222QTc模型求解min2)(21rTcTcTC求T使d0dCT212crcrTQ212rccT模型解释QTc,1QTc,2QTr,定性分析敏感性分析参数c1,c2,r的微小变化对T,Q的影响T对c1的(相对)敏感度111/Δ/Δ),(ccTTcTS11ddcTcT21c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=–1/2,S(T,r)=–1/2c2或r增加1%,T减少0.5%经济批量订货公式(EOQ公式)212rccT212crcrTQ•用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型模型应用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)•回答原问题c1=5000,c2=1，r=100每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2,T天(周期)订货一次,每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.思考:为什么与前面计算的C=950元有差别?允许缺货的存贮模型ABOqQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失.原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足.T1rTQAc2Bc3周期T,t=T1贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期贮存费120()dTcqtt一周期缺货费13()dTTcqttTCQTC),(0,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用(,)minCTQ求T,Q332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T´,Q记作Q´.允许缺货的存贮模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT,13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型OqQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR存贮模型•存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.•建模中未考虑生产费用,为什么?在什么条件下可以不考虑?•建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计),如果生产能力有限(是大于需求量的常数),应作怎样的改动?3.2森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).•损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.•救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小.•关键是对B(t)作出合理的简化假设.分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积dB/dt(森林烧毁的速度).模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度).2）t1tt2,降为–x(为队员的平均灭火速度).4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比.面积B与t2成正比dB/dt与t成正比xbtt12220d()ddtBBttt模型建立ddBtbOt1tt2x假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数——总费用)()()(21xfxfxC假设3）4）xttt112假设2）)(222212212xttbtd0dCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小231221122ctctcx其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数c2xc1,t1,xc3,x231221122ctctcxc1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?结果解释/是火势不继续蔓延的最少队员数ddBtbOt1t2xt模型应用•费用参数c1,c2,c3已知•,由森林类型、队员能力等因素决定，可设置一系列数值备查.•模型可决定队员数量x231221122ctctcx•开始救火时刻t1可估计评注•在风力的影响较大时“森林烧毁速度dB/dt与t成正比”的假设需要重新考虑.•队员灭火速度应该与开始救火时的火势有关.不平坦处满杯啤酒容易倾倒.杯子中央稍下一点的位置.重心有一个最低点~啤酒杯容易放稳的位置.饮酒时重心先降低，再升高，回到中央.建立数学模型——描述啤酒杯的重心变化的规律，找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素.重心太高！满杯时重心在哪里？空杯时重心在哪里？与满杯时重心相同.倒酒时重心先升高，再降低，回到中央.3.3倾倒的啤酒杯问题分析与模型假设s(x)1液面x0x最简单的啤酒杯~高度为1的圆柱体.沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时液面高度从x=0到x=1.假设：啤酒和杯子材料均匀.w2~空杯侧壁质量w3~空杯底面质量空杯重心由w2和w3决定,与x无关.重心位置沿x轴变化，记作s(x).w1~啤酒(满杯)质量s1=x/2s2=1/2液面高度x时啤酒质量w1x,啤酒重心位置s1=x/2问题分析与模型假设s(x)1液面x0xw1~啤酒(满杯)质量w2~空杯侧壁质量,w3~空杯底面质量空杯重心位置s2=1/2忽略空杯底面质量w3建立啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.啤酒杯重心模型一s1=x/2s2=1/2s(x)1液面x0xs=s(x)~液面高度x的啤酒杯重心啤酒质量w1x空杯质量w2啤酒重心s1空杯重心s2力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关a=w2/w1w1~啤酒质量w2~空杯质量00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5a=0.1a=0.3a=0.5a=1xsa=0.3,x=0.35左右s最小,即重心最低.对于每个a,s(x)有一最小点.x=0.35啤酒杯重心模型一a=w2/w1微分法求解s极值问题x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axa液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.x由质量比a决定结果分析半升啤酒杯w1=500g空杯质量w2取决于材料(纸杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！设w2=150g(a=w2/w1)x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.20.250.30.350.40.45axaa=0.3x=0.3245w2↑→a↑→x↑空杯越重,重心最低时的液面越高.重心最低位置x由比值a决定结果分析x=𝑎2+𝑎−𝑎(a=w2/w1)=xs(x)x啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.意料之外?情理之中!直观解释x=0时s=s2=1/2x↑→s1=x/2向下作用→s↓x=sx↑→s1=x/2向上作用→s↑x=1时s=1/2结果分析啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.数学分析ds/dx与(x-s)同号.xs时ds/dx0→s↓xs时ds/dx0→s↑x=s时ds/dx=0,s达到最小值.x↑𝑑𝑠𝑑𝑥=𝑥−𝑠𝑥+𝑎啤酒杯重心模型二s1=x/2s2=1/2s(x)1液面x0xs3=0考虑空杯底面质量w3底面厚度杯子高度力矩平衡332211321)(swswxswswwxw底面重心s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1s𝑥=𝑥2+𝑎2(𝑥+𝑎+𝑏)b=0时与模型一相同.啤酒杯重心模型二a=w2/w1b=w3/w1=s(x)啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.与模型一a=0.3时x=0.3245比较设侧壁和底面的厚度和材质相同,侧壁高度h,底面直径d,h=2dw3/w2=d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8)0.3=0.0375小结与评注对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型：•对杯子作适当的简化假设.•用基本物理知识构造优化模型.•用导数、极限、作图等方法给出求解结果.•对结果作数学分析并给予实际解释.啤酒杯重心模型二啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.啤酒杯重心模型一既在意料之外又在