高中数学选修2-2课件：1.3-1.3.1-二项式定理

第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[自主预习·探新知]1．二项式定理(a＋b)n＝____________________________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．(3)二项式系数：各项的系数____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn＋1Ckn2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.k＋1Cknan－kbk课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Cknan－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cknbn－kak.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[由二项式定理的公式特征可知n＝10.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为()A．C68B．C58(－2)5C．C58D．C68(－2)6C[由题意可知：Tk＋1＝Ck8y8－k(－2x)k＝Ck8·(－2)kxky8－k当k＝5时，二项式系数为C58.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页4．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝________.x4[(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝[(x－1)＋1]4＝x4]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[合作探究·攻重难]二项式定理的正用和逆用(1)求x－12x4的展开式．(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.[思路探究](1)解答本题先将x看成a，－12x看成b，利用二项式定理展开，也可以先将x－12x4化简后再展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)法一：x－12x4＝C04(x)4－C14(x)3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]1．(1)求二项式3x－1x4的展开式；(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)3x－1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3－1x＋C24(3x)2－1x2＋C34(3x)－1x3＋C44－1x4＝81x2－108x＋54－12x＋1x2.(2)原式＝C05(x－2)5＋C15(x－2)4＋C25(x－2)3＋C35(x－2)2＋C45(x－2)＋C55(x－2)0－1＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页二项展开式通项的应用已知二项式2x－1x6(1)求展开式第4项的二项式系数，(2)求展开式第4项的系数，(3)求第4项.[思路探究]利用二项式定理的展开式中某一项课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解]由已知得2x－1x6的展开式的通项是Tk＋1＝Ck6(2x)6－k－1xk＝Ck626－k(－1)k·x6－3k2(k＝0,1,2，…，6)(1)展开式第4项的二项式系数为C36＝20.(2)展开式第4项的系数为C36·23·(－1)3＝－160.(3)展开式的第4项为T4＝－160x－32.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法](1)二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ckn.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]2．已知x－2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)因为T3＝C2n(x)n－2－2x2＝4C2nxn－62，T2＝C1n(x)n－1－2x＝－2C1nxn－32，依题意得4C2n＋2C1n＝162，所以2C2n＋C1n＝81，所以n2＝81，n＝9.(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝Ck9(x)9－k－2xk＝(－2)kCk9x9－3k2，所以9－3k2＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项：T2＝－2C19x3＝－18x3.二项式系数为C19＝9.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求x＋1x4展开式中的常数项．[提示]利用二项展开式的通项Ck4x4－k·1xk＝Ck4x4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以x＋1x4展开式中的常数项为C24＝4×32＝6.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？[提示](a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．如何求x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项？[提示]x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋1x中的x与1x分别与(2x＋1)3展开式中常数项C33＝1及x2项C1322x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C33＋1x·C13(2x)2＝x＋12x＝13x.即x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[思路探究]写出通项Tr＋1→令r＝5，x的指数为零→1求出n值→修正通项公式→2求x2项的系数→考察x指数为整数→分析求出k值→3写出有理项课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解]通项公式为：Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝Crn(－3)rxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令10－2r3＝2，得r＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C210(－3)2＝405.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(3)由题意得，令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－3)2x2，C510(－3)5，C810(－3)8x－2.即405x2，－61236,295245x－2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk＝Ck－1nan－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]3．(1)在(1－x3)(1＋x)1