高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》2.2.1椭圆及其标准方程(第1课时)(定义)

——仙女座星系星系中的椭圆2007年10月24日18时05分，嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中心顺利发射，2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空，准确入轨，赴月球拍摄月球表面影象、获取极区表面数据，为嫦娥三号在月球软着陆做准备。标志着我国航天事业又上了一个新台阶。如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一、合作探究，形成概念：1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。椭圆的定义:（大于|F1F2|）请同学们根据上面作图过程，总结椭圆的定义。结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（）若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（）若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（）思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？椭圆线段F1F2不存在椭圆的定义：（与圆类比）圆：PF2F1OP椭圆平面内与一个定点的距离等于常数（大于0）的点的轨迹叫作圆，这个定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径圆的定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．21,FF21FF椭圆的定义：椭圆的方程的推导独立思考轨迹方程的一般步骤，并按其方法及提示独立逐步求椭圆的一般方程。xyo建设现（限）以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。设M（x，y）是椭圆上任一点，设椭圆的焦距为2c，点M与两焦点的距离之和为常数2a。故椭圆的两焦点坐标分别为F1(-c,0)和F2(c,0)由椭圆的定义得（ac）2a||||21MFMFaycxycx2)()(2222代化2222)(2)(ycxaycx222()acxaxcy22222222acxayaac222221xyaac两边同时除以，得移项，得平方化简，得再平方化简，得222aac椭圆方程的建立——步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标步骤四：代入坐标步骤五：化简方程步骤三：限制条件，列等式xyoacbcaOP22||令则方程可化为观察左图，你们能从中找出表示c、a的线段吗？222210xyababa2-c2有什么几何意义？b由两点间的距离公式，可知：2222()()2ycxycxa设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，又由椭圆的定义可得：|MF1|+|MF2|=2a（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）2ayc)(xyc)(x2222焦点在Y轴焦点在X轴F2F1Mxyo22222222222211xyxybacaacab22222222222211yxyxaacabbac222210yxabab•焦点在x轴上的标准方程：•焦点在y轴上的标准方程：222210xyabab如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.（2）焦点在y轴的椭圆，y2项分母较大.222bac222bacX型y型2222+=10xyabab标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标a、b、c的关系焦点在x轴上焦点在y轴上222cab22221(0)yxababyxMOF1F222(2)12516xy2222(5)1,(0)1xymmm22(1)11616xy22(3)9252250xy22(4)321xy练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？（独立思考后回答）例1、填空：（独立思考后回答）(1)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：，焦距等于_____;若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则∆F1PF2的周长为___________15422yx21(0,-1)、(0,1)25253252|PF1|+|PF2|=2a三、迁移应用，能力提高判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。F1F2(2)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________1162522yx543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a（3）a=5，c=4的椭圆标准方程是。192522yx192522xy或课堂小结：1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。21,FF（大于）||21FF（ac）即2a||||21MFMF2、椭圆的图形与标准方程这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。2222+=10xyabab标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标a、b、c的关系焦点在x轴上焦点在y轴上222cab22221(0)yxababyxMOF1F2作业布置