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高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》1.(2012·山东外国语学校模拟)已知点F(a,0)(a0),动点M、P分别在x、y轴上运动,满足PM·PF=0,N为动点,并且满足PN+PM=0.(1)求点N的轨迹C的方程;(2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点,设点K(-a,0),KA与KB的夹角为θ,求证:0θπ2.1.(2012·山东外国语学校模拟)已知点F(a,0)(a0),动点M、P分别在x、y轴上运动,满足PM·PF=0,N为动点,并且满足PN+PM=0.(1)求点N的轨迹C的方程;(2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点,设点K(-a,0),KA与KB的夹角为θ,求证:0θπ2.解:(1)设N(x,y),P(0,b),∵PM+PN=0,∴M(-x,2b-y).∵M在x轴上,∴2b-y=0,∴y=2b.①又∵PF·PM=0,∴PF⊥PM.∴y-bx·b-a=-1.∴x=b2a.②由①②可得y2=4ax(也可用作直线l′:x=-a,运用抛物线的定义得出).45解:由题意可得:acxcaycx222)(化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)令a2-c2=b2,则上式化为:)0(12222babyax所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、短轴长分别为2a,2b的椭圆.例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线的距离的比是常数(ac0),求P的轨迹.caxl2:ac6acxcaycx222)((a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)令c2-a2=b2,则上式化为:即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2))0,0(12222babyax变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线的距离的比是常数(ca0),求P的轨迹.caxl2:ac所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、虚轴长分别为2a,2b的双曲线.解:由题意可得:7平面内到一定点F与到一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.(点F不在直线l上)(1)当0e1时,点的轨迹是椭圆.(2)当e1时,点的轨迹是双曲线.圆锥曲线统一定义(第二定义)(3)当e=1时,点的轨迹是抛物线.其中常数e叫做圆锥曲线的离心率,定点F叫做圆锥曲线的焦点,定直线l就是该圆锥曲线的准线.8xyOl1l2xyOl1l2.F2F2F1F1...准线:cax2)0(12222babyax)0,0(12222babyax定义式:1212||||PFPFeddPM1M2PM2P′M1d1d1d2d210例2.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:1925)1(22yx164)2(22yx1925)3(22yx164)4(22xyxy16)5(2yx16)6(2注:焦点与准线的求解:判断曲线的类别→确定焦点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方程.例3:已知双曲线上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线的距离.1366422yxedPF||2法一:由已知可得a=8,b=6,c=10.因为|PF1|=142a,所以P为双曲线左支上一点,设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离为d,则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16,所以|PF2|=30,又由双曲线第二定义可得所以d=|PF2|=24e112例4已知双曲线上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线的距离.22:1458,6,10,44562264641455105256642455PdcabcedaadcaPdc法二设点到左准线的距离为又到右准线的距离为1366422yx22:ac分析两准线间距离为13例5若点A的坐标为(3,2),F为抛物线的焦点,点M在抛物线上移动时,求|MA|+|MF|的最小值,并求这时M的坐标.xy22xyo21lFAMdN14例6.已知A(-1,1),B(1,0),点P在椭圆134x22y上运动,求|PA|+2|PB|的最小值。ABP··CO·yxOPDFA例7.已知P为双曲线右支上的一个动点,F为双曲线的右焦点,若点A的坐标为,则的最小值是__2||3||PAPF2213xy(3,1)(2)证明:设lAB:y=k(x-a),由y=kx-a,y2=4ax可得k2x2-(2ak2+4a)x+a2k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2ak2+4ak2,x1x2=a2.∵KA=(x1+a,y1),KB=(x2+a,y2),∴KA·KB=(x1+a)(x2+a)+y1y2=(x1+a)(x2+a)+k2(x1-a)(x2-a)=[x1x2+a(x1+x2)+a2]+k2[x1x2-a(x1+x2)+a2]=(1+k2)(x1x2+a2)+a(1-k2)(x1+x2)=4a2k20,∴0θπ2.
本文标题:高中数学选修2-1第章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线第二定义
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