第四章冲量和动量解析

大学物理第三次修订本第4章冲量和动量1第4章冲量和动量空气动力学家、火箭专家钱学森大学物理第三次修订本第4章冲量和动量2牛顿定律揭示了物体所受外力与它的加速度之间的关系。只要知道物体在某一时刻的受力情况，就可根据牛顿第二定律求出物体在该时刻获得的加速度。然而，实际上力对物体的作用总是要延续一段或长或短的时间，在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总的效果。本章将介绍力的时间积累效应的规律以及由此引出的一些重要定律。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量3§4.1冲量与动量定理一、动量dvdFmammvdtdt定义Pmv在经典力学中，物体的质量是恒定的，可将牛顿第二定律做下面的演化：瞬时状态量，SI单位kg·m·s-1大学物理第三次修订本第4章冲量和动量4引入动量后，牛顿第二定律可以表示为：dpFdt任一瞬间，质点动量的时间变化率等于同一瞬间作用于质点的合力，其方向与合力方向一致。表明力是使物体动量改变的原因。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量5作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量——质点的动量定理二、动量定理pddtFdtpdF00,:ttpp如果在到的时间内质点的动量从变为那么力在这段时间内的积累效应为0,.ttFI在到这段时间内合外力的冲量用表示大学物理第三次修订本第4章冲量和动量6注意(1)★动量定理和牛顿第二定律都反映了质点运动状态的变化与力的作用关系，但有差别。牛顿第二定律表示的是在力的作用下质点动量的瞬时变化规律；动量定理则表示在力作用下质点动量的持续变化情形，即在一段时间内合力对质点作用的积累效果。Fdtdp牛顿第二定律：动量定理：大学物理第三次修订本第4章冲量和动量7★要产生同样的效果，即同样的动量增量，力大力小都可以。力大，时间可以短些；力小，时间需长些。只要力的时间积累（即冲量）一样，就产生同样的动量增量。注意(2)大学物理第三次修订本第4章冲量和动量8三、动量定理的应用求平均冲力的大小作用于物体上的力是作用时间极短，数值很大而且变化很快的一种力，这种力称为冲力。FFo1t2tt大学物理第三次修订本第4章冲量和动量9确定冲力随时间变化的细节很难，无法用牛顿第二定律处理。可以测定物体在冲击前后的动量，以及冲力作用于物体的时间，借助动量定理来估计冲力的平均值。0000ttFdtppFttttFFo1t2tt大学物理第三次修订本第4章冲量和动量10注意(1)★合外力的冲量的方向应和受力质点的动量的增量的方向一致，但不一定和质点的初动量或末动量的方向一致。00vmPvmPttdtFpI0大学物理第三次修订本第4章冲量和动量11★动量定理式都是矢量公式，应用时可直接用作图法，按几何关系求解，也可用分量式求解。zzzttzzyyyttyyxxxttxxmvmvpdtFImvmvpdtFImvmvpdtFI000000冲量在任一方向的分量只能改变自己方向上的动量分量，而不能改变与它相垂直的其他方向的动量分量。注意(2)大学物理第三次修订本第4章冲量和动量12关于质点动量定理的几点说明★质点动量定理是矢量规律，要注意其矢量特点（例如小球垂直下落与地面作弹性碰撞后以相同的速率反弹回来）★力的冲量是过程量，对应于一段时间；质点动量是状态量(瞬时量)，对应于一个时间点(时刻)。★由质点动量的改变量可以确定一段时间内合力的冲量（即合力的积累效应），但不能确定各个瞬时的作用力的大小。★应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。只能在惯性系中运用。不同的惯性系中，冲量有相同的形式，而动量的数值和方向随参照系而变，但动量的改变量不变。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量131、内力与外力§4.2、质点系的动量定理内力：系统内各质点间的相互作用力称为内力外力：系统以外的其他物体对系统内任意一质点的作用力称为外力。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量142、质点系动量定理两个质点组成的质点系：110220,mvmv1121212221,;mFmfmFmf在相互作用过程中质点受外力和的作用力质点受外力和的作用力2m1F12f1m21f2F在起始时刻t0，两质点动量分别为：1122,mvmv在时刻t，两质点动量分别为：大学物理第三次修订本第4章冲量和动量15选取适当的惯性参照系，对两质点分别运用动量定理：101111210vmvmdtfFtt0121122110220ttFFdtmvmvmvmv202222120vmvmdtfFtt两式相加，且根据牛顿第三定律，有：02112ff2m1F12f1m21f2F大学物理第三次修订本第4章冲量和动量16将上述结果推广到由任意多个质点组成的质点系niiiniiittniivmvmdtF10110外——质点系动量定理大学物理第三次修订本第4章冲量和动量17注意★质点系动量定理表明：系统总动量随时间的变化完全是外力作用的结果，系统的内力不会引起系统总动量的改变。（与质点系动能定理相比较，差别？）外力与内力的区分完全取决于所选取的研究对象。★质点系动量定理是由牛顿定律导出的规律，只适用于惯性参照系。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量18★质点系动量定理的数学表达式是矢量方程，直角坐标系中的分量式为：000011101110111nnntixiixiixtiiinnntiyiiyiiytiiinnntiziiziiztiiiFdtmvmvFdtmvmvFdtmvmv外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量19例1：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30onv2v1大学物理第三次修订本第4章冲量和动量20解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为F，则有：21IFdtmvmv45o30onv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：21cos30(cos45)xxxIFdtmvmvFt21sin30sin45yyyIFdtmvmvFt大学物理第三次修订本第4章冲量和动量21120.01s10m/s20m/s2.5gtvvm226.1N0.7N6.14NxyxyFFFFFxyI=Ii+Ij=0.061i+0.007j为平均冲力与x方向的夹角。tan0.11486.54yxFF45o30onv2v1Oxy小球受到的冲量为：平均冲力为：大学物理第三次修订本第4章冲量和动量22此题也可用矢量法解2222212122cos105IFtmvmvmvv＝Ns1014.626.14IFtN105sinsin2tFmv51.860.7866sin86.64551.86v2v1v1tx45o30onv2v1Oxy求角度：为F与x轴夹角平均冲力：大学物理第三次修订本第4章冲量和动量23例2质量m=1kg的质点M，从O点开始沿半径R=2m的圆周运动，如图。以O点为自然坐标原点，已知M的运动学方程为s=0.5πt2m。求从t1=21/2s到t2=2s这段时间内作用于质点M的合力的冲量。解以M为研究对象质点的速度ttsπddv大学物理第三次修订本第4章冲量和动量24质点在Ａ点的动量大小11smkgπ2vm质点在Ｂ点的动量大小12smkgπ2vm根据动量定理)(12vvvmmmI1-222221smkgπ6π4π2)()()(vvvmmm由图(b)可知大学物理第三次修订本第4章冲量和动量25-1smkg69.7π6I冲量的方向22tan12vvmm'4454大学物理第三次修订本第4章冲量和动量26例2质量为m的匀柔质软链条,全长为L,开始时,下端与地面的距离为h。lLmmddd2=lglhdtv()dm在落地时的速度LhmllldldNN′G求当链条自由下落在地面上的长度为l时，地面所受链条的作用力？取竖直向下为正方向，设t时刻已有l长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dl（Mdl/L)的柔绳以dl/dt的速率碰到桌面而停止.大学物理第三次修订本第4章冲量和动量27LhmllldldNN′GmtNd0dv根据动量定理tmNddv地面受力ghlLmgLmlNF)23()('tlLmddvLm2vLghlm)(2大学物理第三次修订本第4章冲量和动量28例3：一辆煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为△m=500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢（车厢钢轨间的磨擦忽略不计）xvFdmm大学物理第三次修订本第4章冲量和动量29xvFdmm解：以m表示时刻t煤车和已落进煤车的煤的总质量，此后dt时间内又有质量为dm的煤落入车厢。dm在落入车厢前水平速度为0，落下后的水平速率为v。10pmvdmmvt+dt时刻的水平总动量：2()pmvdmvmdmv此系统所受的水平外力为牵引力F，由动量定理得：dpdmFvdtdtsmvskgdtdm/3,/500)(1500NF取m和dm组成质点系。该系统在t时刻的水平总量为：大学物理第三次修订本第4章冲量和动量30一、质点系动量守恒定律0:1112niiiniiivmvm亦即iF0,,0dpdpFpdtdt外若则根据常矢量一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，系统的总动量保持不变。----动量守恒定律§4.3动量守恒定律大学物理第三次修订本第4章冲量和动量31二、几点说明1、动量是矢量。质点组动量守恒，是指质点组内所有质点的动量的矢量和在过程中保持不变。例：三个弹性小球用绳扎紧，静止地放在光滑桌面上。细线剪断前后总动量保持为零。0332211vmvmvm1m2m3m3m1m2m11vm22vm33vm1m2m3m大学物理第三次修订本第4章冲量和动量322、系统内力外力时，可使用动量守恒定律处理问题。例：两物体发生碰撞时，撞击力（内力）比空气阻力、摩擦力甚至重力都大得多，近似认为满足动量守恒定律。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量333、实际问题中，常使用动量守恒矢量式的直角坐标分量式。1110,0,0,nxiixxinyiiyyinziizziFmvpFmvpFmvp当时常量当时常量当时常量例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下，这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总动量在水平方向上的分量守恒。4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性系。大学物理第三次修订本第4章冲量和动量34例1一长为l=4m,质量为M=150kg的船，静止浮在湖面上。今有一质量m=50kg的人，从船头走到船尾,如图所示。求人和船相对于湖岸各移动的距离，设水对船的阻力忽略不计。解选人和船组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒0MVmv0dd00tttVMtmv上式两边同乘，并积分tdv大学物理第三次修订本第4章冲量和动量35用S和s分别表示船和人相对于湖岸移动的距离，则有tVS0dttts0dvMSms由图知lSsm145015050lmMmSm3Slsv大学物理第三次修订本第4章冲量和动量36例2、一