2016年高考数学压轴题的分析与解(印刷版)兰琦著

Math173|Thejourneyofmathematics2016年全国⾼考数学压轴题的分析与解兰琦著2016年6⽉13⽇⺫录12016年全国1卷(⼄卷)理科数学222016年全国1卷(⼄卷)⽂科数学532016年全国2卷(甲卷)理科数学742016年全国2卷(甲卷)⽂科数学1152016年全国3卷(丙卷)理科数学1362016年全国3卷(丙卷)⽂科数学1672016年上海卷理科数学1882016年上海卷⽂科数学2292016年北京卷理科数学24102016年北京卷⽂科数学27112016年四川卷理科数学29122016年四川卷⽂科数学33132016年天津卷理科数学36142016年天津卷⽂科数学40152016年⼭东卷理科数学44162016年⼭东卷⽂科数学46172016年江苏卷数学48182016年浙江卷理科数学53192016年浙江卷⽂科数学58112016年全国1卷(⼄卷)理科数学⾼考数学压轴题的分析与解(兰琦著)12016年全国1卷(⼄卷)理科数学试卷点评今年是⾼考统⼀命题改⾰的第⼀年，全国1卷与之前的全国I卷命题风格⼀致，难度也相当．知识点覆盖全⾯，层次合理，相信学⽣做题时不会感到意外．解析⼏何试题将圆与椭圆有机结合起来，是⼀道中规中矩的题⽬，有较⾼的区分度．导数题作压轴，第(2)⼩题有⼀定难度，不过鉴于⽬前全国各地的模拟题中频繁出现极值点偏移的试题，因此对知识⾯较⼴的学⽣有利．值得注意的是这次⼩题中出现了两道应⽤题，贯彻了新课标精神，也提醒新⼀届的考⽣需要增强阅读理解能⼒．题(理12)已知函数f(x)=sin(!x+φ)(!0;jφj⩽2)，x=4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在18;536‹单调，则!的最⼤值为()A.11B.9C.7D.5解由题意知12k+14‹T=4(4);k2Z;解得!=2T=2k+1;k2Z:（也可以由8:4!+φ=m;4!+φ=n+2;m;n2Z两式相减得到!．）又因为f(x)在18;536‹单调，所以T=2!=22k+1⩾253618‹;k2Z;于是k⩽112，从⼤到⼩进⾏试探：当k=5时，f(x)在18;536‹不单调（因为184T536）；当k=4时，f(x)在36;536‹上单调，符合题意，所以!的最⼤值为9．题(理16)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1:5kg，⼄材料1kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0:5kg，⼄材料0:3kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，⼄材料90kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为元．解设⽣产产品A;B的件数分别为x;y时，获得利润为z元．则x;y满⾜的约束条件为8:1:5x+0:5y⩽150;x+0:3y⩽90;5x+3y⩽600;其中x;y2N，⽬标函数z=2100x+900y=300(7x+3y):212016年全国1卷(⼄卷)理科数学⾼考数学压轴题的分析与解(兰琦著)xyO9060100300200作出可⾏域，可以得到当x=60;y=100时，z有最⼤值216000．题(理20)设圆x2+y2+2x15=0的圆⼼为A，直线l过点B(1;0)且与x轴不重合，l交圆A于C;D两点，过B作AC的平⾏线交AD于点E．(1)证明：jEAj+jEBj为定值，并写出点E的轨迹⽅程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M;N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P;Q两点，求四边形MPNQ⾯积的取值范围．分析第(1)小题利用⼏何知识证明jEBj=jEDj即可；第(2)小题是典型的面积问题，计算两个弦长jMNj和jPQj即可，其中对焦点弦长的计算用到了《⾼考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效10招中的第3招，与之类似的题有2014年天津卷理科第19题．解(1)将圆的⽅程化为标准⽅程(x+1)2+y2=16:ABCDEOxy由于BE∥AC，于是\EBD=\ACD．又jACj=jADj，于是\ACD=\ADC，因此\EBD=\EDB，从⽽jEBj=jEDj，这样就得到了jEAj+jEBj=jEAj+jEDj=jADj为定值4．根据椭圆的定义，点E的轨迹⽅程为x24+y23=1(y̸=0):(2)设\MBA=(2(0;))，则在△MAB中应⽤余弦定理，有jMAj2=jMBj2+jABj22
jMBj
jABj
cos;结合jMAj+jMBj=4可解得jMBj=32cos:312016年全国1卷(⼄卷)理科数学⾼考数学压轴题的分析与解(兰琦著)NQPMABOxy类似的，可得jNBj=32+cos;从⽽jMNj=jMBj+jNBj=124cos2:此时直线PQ的⽅程为xcos=ysin+cos;于是圆的弦长jPQj=2Ì42‚2cos√cos2+sin2Œ2=4√4cos2:于是可得四边形MPNQ的⾯积S=12
jMNj
jPQj=24p4cos2;于是四边形MPNQ的⾯积的取值范围是[12;8p3)．题(理21)已知函数f(x)=(x2)ex+a(x1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1;x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x22．分析第(1)小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法（《⾼考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效10招中的第1招，与之类似的题有2014年新课标II卷⽂科第21题）；第(2)小题是典型的偏移问题，对称化构造即可．解(1)显然x=1不是函数f(x)的零点．当x̸=1时，⽅程f(x)=0等价于a=2x(x1)2
ex:记右侧函数为g(x)，则g(x)的导函数g′(x)=ex
x24x+5(x1)3;因此函数g(x)在(1;1)上单调递增，⽽在(1;+1)上单调递减．由于函数g(x)在(1;1)上的取值范围是(0;+1)，⽽在(1;+1)上的取值范围是(1;+1)，因此当a0时，函数f(x)有两个零点，所求取值范围是(0;+1)1．1第(1)⼩题中如果需要刻意避开极限，可以进⾏如下论证．当a⩽0时，由于在(1;1)上，g(x)0，因此在此区间上不存在x使得g(x)=a;422016年全国1卷(⼄卷)⽂科数学⾼考数学压轴题的分析与解(兰琦著)(2)根据第(1)⼩题的结果，不妨设x11x2，则只需证明x22x1．考虑到函数g(x)在(1;+1)上单调递减，于是只需要证明g(x2)g(2x1);也即g(x1)g(2x1):接下来证明：8x1;g(x)g(2x)0;也即8x1;ex
(2x)e2x
x0:设h(x)=ex
(2x)e2x
x，则其导函数h′(x)=(exe2x)(1x);当x1时，有exe2x0;于是在(1;1)上，h(x)单调递减．⽽h(1)=0，于是在(1;1)上，有h(x)0，因此原命题得证1．22016年全国1卷(⼄卷)⽂科数学题(⽂12)若函数f(x)=x13sin2x+asinx在(1;+1)上单调递增，则a的取值范围是()A.[1;1]B.•1;13˜C.•13;13˜D.•1;13˜解函数f(x)的导函数f′(x)=123cos2x+acosx=43cos2x+acosx+53;根据题意有8x2R;f′(x)⩾0，令t=cosx，则上述命题即8t2[1;1];4t23at5⩽0;⽽在(1;+1)上，函数g(x)单调递减，不可能存在两个零点；当a0时，取x1=min§1+√1a;32ª，则g(x1)1(x11)2⩾a;⽽g(2)=0a，结合g(x)在(1;+1)上单调递减，可以断定在区间(x1;2)上必然有⼀个零点；另⼀⽅⾯，取x2=max§1√2a;0ª，则g(x2)⩾2(x21)2⩾a;⽽取x3=√2a，则g(x3)2x3x232x23=a;结合g(x)在(1;1)上单调递增，可以断定在区间(x3;x2)上必然有⼀个零点；综上所述，a的取值范围是(0;+1)．1注意到f(x)中⼆次函数的部分关于x=1对称，因此直接作差f(x)f(2x)亦可．522016年全国1卷(⼄卷)⽂科数学⾼考数学压轴题的分析与解(兰琦著)由于⼆次函数g(t)=4t23at5的开⼜向上，因此只需要8:g(1)⩽0;g(1)⩽0即可，解得13⩽a⩽13，选C．题(⽂16)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1:5kg，⼄材料1kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0:5kg，⼄材料0:3kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，⼄材料90kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为元．解216000．与理科第16题相同．题(⽂20)在直⾓坐标系xOy中，直线l:y=t(t̸=0)交y轴于点M，交抛物线C:y2=2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延⻓交C于点H．(1)求jOHjjONj；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点?说明理由．分析第(1)小题是简单的计算题，第(2)小题考查直线与抛物线的位置关系，可以利用《⾼考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效10招中的第10招轻松解决．解根据题意，作出⽰意图．Oxyy=tMPNH(1)根据题意，有M(0;t)，于是Pt22p;t‹，进⽽Nt2p;t‹．这就得到了直线ON的⽅程为y=ptx．将直线ON的⽅程与抛物线C的⽅程联⽴，可得px(px2t2)=0;从⽽H点的横坐标为2t2p．这样就得到了jOHjjONj=2t2pt2p=2:(2)由第(1)⼩题的结果，可得H点的坐标为2t2p;2t‹，因此直线MH的斜率为2tt2t2p0=p2t;632016年全国2卷(甲卷)理科数学⾼考数学压轴题的分析与解(兰琦著)因此直线MH的⽅程1为y=p2tx+t;即2px=4ty4t2;与抛物线C的⽅程联⽴可得y24ty+4t2=0;该⽅程的判别式∆=0，因此除H外，直线MH与C没有其它公共点．题(⽂21)已知函数f(x)=(x2)ex+a(x1)2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．分析第(1)小题是常规的考查利用导函数研究函数的单调性的问题；第(2)小题与理科第21题第(1)小题相同．解(1)函数f(x)的导函数f′(x)=(x1)(ex+2a);因此可以得到讨论的分界点为e2;0．情形⼀当ae2时，ln(2a)1，因此函数f(x)在(1;1)上单调递增，在(1;ln(2a))上单调递减，在(ln(2a);+1)上单调递增．情形⼆当a=e2时，ln(2a)=1，因此函数f(x)在R上单调递增．情形三当e2a0时，ln(2a)1，因此函数f(x)在(1;ln(2a))上单调递增，在(ln(2a);1)上单调递减，在(1;+1)上单调递增．情形四当a⩾0时，ex+2a0，因此函数f(x)在(1;1)上单调递减，在(1;+1)上单调递增．(2)参考理科第21题第(1)⼩题．32016年全国2卷(甲卷)理科数学试卷点评今年全国2卷中涌现了很多有新意的题⽬，尤其是解析⼏何试题，简约⽽不简单，对数学能⼒有⽐较全⾯的考查．选择题最后⼀题稍显⽼套，但与全卷难度层次契合，可谓中规中矩．理科填空题推陈出新，在平凡的切线问题的基础上考查了“公切线”的问题．导数压轴题⼤题新意不⾜，难度也略显不⾜，但从整体的命题风格、难度、考查层次来说都是瑕不掩瑜．题(理12)已知函数f(x)(x2R)满⾜f(x)=2f(x)，若函数y=x+1x