必修2.3章-3.1.1直线倾斜角与斜率

第1页高考调研·新课标·数学必修二A版第三章直线与方程第2页高考调研·新课标·数学必修二A版3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率第3页高考调研·新课标·数学必修二A版要点1直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0°．(3)直线l的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°．第4页高考调研·新课标·数学必修二A版要点2直线的斜率定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tanα取值范围－∞k＋∞当α＝0°时，k＝0；当0°α90°时，k0；当90°α180°时，k0；当α＝90°时，斜率k不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)第5页高考调研·新课标·数学必修二A版1．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？答：不对．当k0时，α∈(0°，90°)时，或当k0，α∈(90°，180°)时倾斜角越大，斜率越大．第6页高考调研·新课标·数学必修二A版2．任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝y2－y1x2－x1对吗？答：不对．当x1≠x2时，k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2；若x1＝x2时，则斜率不存在．第7页高考调研·新课标·数学必修二A版课时学案第8页高考调研·新课标·数学必修二A版题型一倾斜角的求法例1下列图中标出的直线的倾斜角对不对？正确的有________个．第9页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的大小一样，但不是倾斜角．【答案】0第10页高考调研·新课标·数学必修二A版探究1求直线的倾斜角主要是根据定义来求，它的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角．有时要根据情况讨论．讨论的分类主要有①0°角；②锐角；③90°角；④钝角．第11页高考调研·新课标·数学必修二A版思考题1(1)如图，直线l的倾斜角为()A．30°B．150°C．60°D．120°第12页高考调研·新课标·数学必修二A版(2)直线x＝1的倾斜角为________．(3)设直线l与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l的倾斜角为α＋45°，求α的取值范围．第13页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】(3)∵l与x轴交于点P，且倾斜角为α，∴0°α180°.又∵逆时针旋转后得到倾斜角为α＋45°，∴0°≤α＋45°180°.综上：0°α180°，0°≤α＋45°180°，解得0°α135°.【答案】(1)B(2)90°(3)0°α135°第14页高考调研·新课标·数学必修二A版题型二直线的斜率的求法例2如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．第15页高考调研·新课标·数学必修二A版【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知三点A、B、C的坐标；②通过斜率判断直线AB，BC，CA的倾斜角．解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．第16页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】直线AB的斜率kAB＝1－2－4－3＝17；直线BC的斜率kBC＝－1－10－（－4）＝－24＝－12；直线CA的斜率kAC＝－1－20－3＝－3－3＝1.由kAB0及kAC0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC0知，直线BC的倾斜角为钝角．第17页高考调研·新课标·数学必修二A版探究2根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角0°≤α90°时，斜率是非负的；当倾斜角90°α180°时，斜率是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．第18页高考调研·新课标·数学必修二A版思考题2经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)P(1，1)，Q(－1，－2)；(2)P(－2，－3)，Q(－2，3)；(3)P(2，1)，Q(m，2)．第19页高考调研·新课标·数学必修二A版【思路分析】直接用斜率公式去求．【解析】(1)kPQ＝－2－1－1－1＝32.(2)∵x1＝x2，∴斜率不存在．(3)当m＝2时，斜率不存在；当m≠2时，kPQ＝2－1m－2＝1m－2.第20页高考调研·新课标·数学必修二A版题型三直线的倾斜角与斜率的关系例3(1)已知过点A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为45°，求实数m的值；(2)若过点A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为90°，求实数m的值；(3)若过点A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围．第21页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】(1)∵直线的倾斜角为45°，∴k＝1，即－1－32－2m＝1.∴m＝3.(2)∵直线的倾斜角为90°，∴k不存在．∴2m＝2.∴m＝1.(3)∵直线的倾斜角为钝角，∴k0，即－1－32－2m0.∴m1.第22页高考调研·新课标·数学必修二A版探究3斜率与倾斜角既互相联系，又各有不同，都反映了直线的倾斜程度，但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现，斜率是实数，是间接反映，用斜率比用倾斜角方便，但应注意斜率不存在的情况．当给定直线的位置确定后．可通过其倾斜程度的大小来判定相应直线的倾斜角的大小及范围．当倾斜角θ∈(0°，90°)，倾斜角越大，斜率越大且斜率k0.当倾斜角θ∈(90°，180°)时倾斜角越大，斜率越大且斜率k0.第23页高考调研·新课标·数学必修二A版思考题3若直线l过点M(a，3)，N(1，2)，求直线的斜率并判断直线l的倾斜角是锐角还是钝角？第24页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】根据直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)知：(1)当a＝1时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)当a≠1时，k＝3－2a－1＝1a－1.①当a1时，k＝1a－10，倾斜角为锐角；②当a1时，k＝1a－10，倾斜角为钝角．第25页高考调研·新课标·数学必修二A版题型四斜率公式的应用例4已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围．第26页高考调研·新课标·数学必修二A版【思路分析】画一个草图，结合图形考虑，为使l与线段AB有公共点，l的倾斜角应介于PB与直线PA的倾斜角之间，但由于l的倾斜角要“跨越”90°，所以要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.第27页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】如图，由题可知kPA＝4－（－1）－3－2＝－1，kPB＝2－（－1）3－2＝3.要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥3.第28页高考调研·新课标·数学必修二A版探究4(1)这样的题目一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时l的倾斜角和斜率的变化规律，通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA与kPB是两个关键的数据．(2)数形结合是一种常用的方法．(3)直线逆时针旋转，k变大，顺时针旋转，k变小．第29页高考调研·新课标·数学必修二A版思考题4经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(2，1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值范围．第30页高考调研·新课标·数学必修二A版【解析】连接PA，PB，kPA＝1－（－1）2－0＝1，α1＝45°，kPB＝－3－（－1）2－0＝－1，α2＝135°，lPA要顺时针旋转，lPB要逆时针旋转才能与AB相交．∴－1≤k≤1，∴α≥135°或0°≤α≤45°.【答案】－1≤k≤1α≥135°或0°≤α≤45°.第31页高考调研·新课标·数学必修二A版课后巩固第32页高考调研·新课标·数学必修二A版1．直线的斜率k的取值范围是()A．k∈RB．k∈R且k≠90°C．k∈R且k≠0D．0≤kπ答案A解析由定义知选A.第33页高考调研·新课标·数学必修二A版2．对于下列命题：①若θ是直线l的倾斜角，则0°≤θ180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C第34页高考调研·新课标·数学必修二A版3．已知直线l的倾斜角为150°，则此直线的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33答案D解析k＝tan150°＝－tan30°＝－33.第35页高考调研·新课标·数学必修二A版4．已知经过两点A(5，m)和B(m，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是()A．(5，8)B．(8，＋∞)C．(132，8)D．(5，132)第36页高考调研·新课标·数学必修二A版答案D解析由题意知8－mm－51，得8－mm－5－10.即2m－13m－50，∴5m132.第37页高考调研·新课标·数学必修二A版5．已知点A(1，2)，若在x轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则P的坐标为________．答案(3，0)解析设P(x，0)，∴tan135°＝0－2x－1，即x－1＝2，∴x＝3.∴P(3，0)．第38页高考调研·新课标·数学必修二A版6．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l2⊥l1，求直线l2的斜率．答案k2＝－3解析∵l1⊥l2，∴α2＝30°＋90°＝120°.∴k2＝tan120°＝－3.请做：课时作业（十七）