课件-SARS的传播

数学建模案例选讲SARS的传播(2003年A题)一、SARS的传播SARS(严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：(1)对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。(2)建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。以下只考虑建立SARS的传播模型。二、微分方程在研究一些涉及到变化规律的问题，特别是所研究的问题中涉及变量的变化率时，我们就可考虑微分方程模型。许多自然现象以及社会、经济、工程等领域中的问题，如传染病的蔓延，种群的相互竞争，经济增长的预测等，均可以通过微分方程模型来描述。所谓微分方程，就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程，称之为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称之为偏微分方程。下面列出的等式都是微分方程。Malthus人口方程：虎克定律Rtxttx),(d)(d22＝yxy＝22dd牛顿万有引力方程：波动方程,||||2XXX))(),(),((tztytxX222),(),(ttxycxtxy热传导方程：势方程或Laplace方程TtT210222222zVyVxVV许多自然现象以及社会、经济、工程等领域中的问题，如地震破坏程度的估计，传染病的蔓延，种群的相互竞争，经济增长的预测等，其内在规律和发展趋势的描述，不能通过实验的方式来实现，必须通过机理分析的方法用微分方程模型来表示。这些问题又不像高等数学课程中所谓的微分方程应用题那样：假设条件给定，求解的结果就是问题的答案，并且答案是唯一确定的；而是要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，做出不同的假设，就会得到不同的方程(模型)；结论也不是确定的、唯一的，求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验。三、传染病传播模型人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规率的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。模型1(SI模型)假设条件(1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。根据假设，每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染，即病人数Ni(t)的增加率为Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下进而有再设初始时刻(t=0)病人的比例为i0，则由s(t)+i(t)=1，得到初值问题)()(d)(dtitNsttiN0)0()1(ddiiiiti初值问题的解为teiti1111)(0可画出i(t)~t和di/dt~i的图形为i(t)~t的图形di/dt~i的图形于是可知：①当t时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人(见下图及公式)。这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。teiti1111)(0②然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当i=1/2时，di/dt达到最大值(di/dt)m，这个时刻为这时病人增加得最快，可以认为是医院得门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻(见di/dt~i图)。11ln01itm③还可以看出，tm与成反比。因为日接触率表示给定地区的卫生水平，越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。模型2(不考虑出生和死亡的SIS模型)有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在SI模型的基础上，增加一个假设条件就会得到SIS模型。假设条件(1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/称为这种传染病的平均传染期。如果考虑到假设条件(4)，则人员流程图如下于是有NiNsitiNdd记初始时刻的病人的比例i0(i00)，从而SI模型可以修正为我们称之为Bernolli(贝努里)方程的初值问题，其解析解为0)0()1(ddiiiiiti其中=/。由和1/的含义可知，是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。于是有,1,)1()1(11)(0001)(101tiiieitit1,01,1)(lim1tit我们画出di/dt~i和i~t的图形为di/dt~i的图形（1）i(t)~t的图形（1）di/dt~i的图形（1）i(t)~t的图形（1）模型3(考虑出生和死亡的SIS模型)当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的SIS模型。假设条件(1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为，则人口的平均寿命为1/。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/称为这种传染病的平均传染期。在上述的假设条件下，人员流程图如下于是有NsNNiNsitsNddNiNsitiNdd记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s00)和i0(i00)，从而考虑出生和死亡的SIS模型为00)0(,)0()1()1(dd)1(ddssiiiiiitsiiiiti而由s+i=1有ds/dt=di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为如果令=/(+)，则仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的SIS模型相同。0)0()1(ddiiiiiiti模型4(不考虑出生和死亡的SIR模型)许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，它们已经退出传染系统。模型的假设条件为(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类，三类人在总人数N中占的比例分别为s(t)，i(t)和r(t)。(2)病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为=/。(3)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。在上述的假设条件下，人员流程图如下于是有s(t)+i(t)+r(t)=1NsitsNddNiNsitiNddNitrNdd记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s00)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值r0=0)，于是得到SIR模型为如下的初值问题0)0(,dd)0(,dd)0(,dd00ritriiisitisssits而由s+i+r=1有dr/dt=di/dtds/dt，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。00)0(,dd)0(,ddiiisitisssits例如，取=1，=0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98，则求得数值解如下表。相应的i(t)、s(t)曲线和i~s曲线如下图。t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398SIR模型的i(t)、s(t)曲线SIR模型的i~s曲线在实际应用SIR模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解的相关性质。对于上述的SIR模型，就可以采用相轨线分析的方法，来获得i(t)、s(t)的一般变化规律。(参教案，略)模型5(考虑出生和死亡的SIR模型)模型的假设(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类，三类人在总人数N中占的比例分别为s(t)，i(t)和r(t)。(2)病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为=/。(3)在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为，则人口的平均寿命为1/。在上述的假设条件下，人员流程图如下此时由假设条件有s(t)+i(t)+r(t)=1NsNNsitsNddNiNiNsitiNddNrNitrNdd记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s00)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值r0=0)，于是得到考虑出生和死亡的SIR模型如下0)0(,dd)0(,dd)0(,dd00r