2012高三一轮复习直线与圆的位置关系

2012高考一轮复习---------直线与圆的位置关系知识梳理1.直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法(或Δ法)：看由直线与圆的方程组成的方程组有无实数解。将直线l的方程与圆C的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程.①当Δ＞0时，方程有解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l与圆C；②当Δ＝0时，方程有解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线l与圆C；相交两唯一相切│知识梳理③当时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l与圆C。(2)几何法：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系。①如果，直线l与圆C相交；②如果，直线l与圆C相切；③如果，直线l与圆C相离。2.圆的切线方程求圆的切线方程的方法是：设出切线方程的点斜式方程.利用圆心到切线的距离等于半径求解。drΔ＜0相离drd＝r(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.1．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为()A．±4B．±22C．±2D．±2答案：C2．过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.2B．2C.6D．22答案：Dm为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；例1【思路点拨】利用几何图形解决问题．【解】(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝5，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝|m|22＋(－1)2＝|m|5，∴m5或m－5.故当m5或m－5时，直线与圆无公共点．∵直线与圆无公共点，∴dr，即|m|55，(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12，即5－m25＝1.得m＝±25，∴当m＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；例2(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．【解】(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.由题意知|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k＝34.∴方程为y－1＝34(x－3)，(2)由题意有|a－2＋4|a2＋1＝2，解得a＝0或a＝43.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为|a＋2|a2＋1，∴(|a＋2|a2＋1)2＋(232)2＝4，解得a＝－34.1．求圆的切线的方法(1)求圆的切线方程一般有两种方法：①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.考点圆的切线及弦长问题②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况．(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则(L2)2＝r2－d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立方程组y＝kx＋b(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2](k为直线斜率)．已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16(1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程;(2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求弦AB中点M的轨迹.例题４OxyP(5,0)QABM(x,y)OxyP(5,0)已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16(1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程;(2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求弦AB中点M的轨迹.例题1OxyP(5,0)Q解:（1）设过P的圆O的切线切圆于点Q，∵△PQO是Rt△，∴切线长PQ=34522连OQ，直线l与圆O相切，O到直线l的距离等于半径即：4152kk解得：34k所求切线方程为：02034yxOxyP(5,0)Q设所求切线方程为：)5(xkyl方法一:即：05kykx显然k存在设所求切线方程为)5(xky1)5(22yxxky0162510)1(2222kxkxky得：消去34k解得：)5(34xy02034yx即：0)1625)(1(4100224kkk方法二:OxyP(5,0)Q)5160(x方法一：的中点，为1501KkABMPMOMxyxyA(x1,y1)B(x2,y2)M(x,y)OxyP(5,0)所求轨迹方程为425)25(22yx0522xyx化简得516又由直线与圆相交0x（2）设M(x,y)是所求轨迹上任一点，A(x1,y1),B(x2,y2)AB的斜率为k，由题意：16)5(22yxxky消去y得：0162510)1(2222kxkxk（*）,1102221kkxx2212111010)(kkkxxkyyA(x1,y1)B(x2,y2)M(x,y)OxyP(5,0))5160(x所求轨迹方程为425)25(22yx又由*516091602xk0522xyx轨迹方程即为当y=0时,k=0此时x=0而点，过000522xyx2212221152152kkyyykkxxx消去k得：00522yxyx或【小结】(1)已知弦长求解直线方程与已知直线方程求弦长方法类似，用特殊三角形或直接代入弦长公式求得直线斜率即可；(2)求中点的轨迹方程常用的方法有：①借助中点坐标公式进行相关点代入；②圆中常借助于几何图形利用垂直等特殊位置关系结合向量直接求解.