§6.3---混沌-常微分方程课件-高教社ppt-王高雄教材配套课件

第六章非线性微分方程§6.31*§6.3混沌•前面讨论的多是一、二维驻定微分方程组,相平面上的轨线图貌不会太复杂，仅有奇点、极限环、同宿轨、异宿轨等•几种特殊轨线。对三维及以上的驻定微分方程组,或二维及以上的非驻定微分方程组,其轨线或积分曲线可能出现非常复杂的性态。Lorenz方程便是其中的一个典型模型。•它原是气象学家洛伦兹(Lorenz)研究大气变化时提出的底部加热二维对流的简化摸型,通过计算机模拟发现了方程具有极丰富的分支和混沌性态。•经过李天岩、Yorke等人的继续研究，开创了混沌科学的新纪元。•Lorenz方程是•其中参数a,b,c均为正数.()xayxycxxzyzxybz第六章非线性微分方程§6.32Lorenz方程性质•对称性当用(-x,-y,z)替换(x,y,z)时方程形式不变,方程关于z轴对称.•z轴是不变集因x=0,y=0满足方程,且此时z’=-bz,即z轴为不变集,且轨线沿着z轴趋于原点.而在平面x=0上,当y0时x’0；当y0时x’0,因此环绕z轴的轨线从平面x=0的上方看是逆时针方向旋转的。•耗散性和吸引性Lorenz方程是耗散系统。•常微分方程描述系统的运动，有一大类系统，在运动时,其相空间容积U是收缩的，这类系统我们称为耗散系统当容积U不变时系统称为保守系统当容积U扩大时系统称为扩张系统()xayxycxxzyzxybz第六章非线性微分方程§6.33容积变化率•可以通过系统相空间容积变化率小于或大于零来判断系统是耗散或扩张。•对Lorenz方程,可以计算得•因此Lorenz方程是耗散系统.容积U随时间推移的收缩为Ue-(a+b+c)t。说明Lorenz方程的解是有界的。•轨线最终被吸引到一个体积为零的较低维的集合内。1ddiiifUdivfUtx(1)0xyzabxyz()xayxycxxzyzxybz第六章非线性微分方程§6.34Lorenz方程轨线的性态0c1•当0c1时，原点S0=(0,0,0)是Lorenz方程的唯一平衡点.取李雅普诺夫函数•容易验征•因V定正、V’定负,原点S0是渐近稳定的。Lorenz方程的所有轨线均趋于原点。•在原点S0线性化Lorenz方程可得系数矩阵为•其特征根为()xayxycxxzyzxybz2221()2Vxayaz2222(1)(1)()()22acacVxyxyabz01000aaAcb212,31,[(1)(1)4(1)]2baaac第六章非线性微分方程§6.35叉式分支•当c1时λ10、λ20,λ30,Lorenz方程仅有原点So是平衡点，且原点稳定•而当c1时λ10、λ20,λ30,原点不稳定.且此时除原点S0外还出现两个异于原点的平衡点S+、S-:•当c=1时λ10、λ2=-（1+a）0,λ3=0•这种参数c由小于1变为大于1时方程原点So从稳定变为不稳定其性态改变的情形，我们称为分支.•对引起分支的参数c，c=1是分支点.•参数c由小于1变为大于1时方程的平衡点由一个变为三个，出现的分支称为叉式分支.212,31,[(1)(1)4(1)]2baaac()xayxycxxzyzxybz((1),(1),1),((1),(1),1)SbcbccSbcbcc第六章非线性微分方程§6.36Hopf分支•S+、S-对称于z轴.对此两平衡点,考虑在平衡点处线性化Lorenz方程，可求得其特征方程为•因c1，特征方程系数均大于零，实特征根必为负根.且由§6.1例3知平衡点渐近稳定的条件是•当c=c01时20,特征方程有一对共轭纯虑根，此时在平衡点附近会出现极限环。•当0c1时特征方程除一负实根外有一对正实部的共轭特征根，平衡点为鞍焦点。•两平衡点S+,S-在c=c0处的分支我们称为Hopf分支。00(3)1111,1aababcabcccab、或、其中32(1)()2(1)0abbacabc第六章非线性微分方程§6.37固定参数a=10,b=8/3•下面我们固定参数a=10,b=8/3进行讨论,此时c0=24.7368。•从前面的分析可知:当0c1时Lorenz方程的所有轨线均趋于原点;当c1时，存在原点S0和平面z=c-1上S+、S-三个平衡点。•当1cc0时S+、S-稳定。•当cc0时S+、S-不稳定，属鞍焦点。•取参数的不同值,我们可以通过数值解画出Lorenz方程在相空间的轨线图貌。如图所示.第六章非线性微分方程§6.38(续)固定参数a=10,b=8/3•由图可知，当1.346c13.926时由原点出发的两条轨线各自分别趋于两平衡点S+、S-;在c=13.926处，出现同宿轨;•当13.926cc0时出现原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线。当cc0时,由于两平衡点S+、S-属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。第六章非线性微分方程§6.39(续)固定参数a=10,b=8/3•对大的参数值，Lorenz方程会出现周期解，•相空间中周期轨线在平面投影如下图所示。第六章非线性微分方程§6.310固定参数a=10,b=8/3,c13.926•当参数a=10,b=8/3,c13.926Loren方程在相空间中存在的复杂轨线图，•从原点O附近右区域内出发的轨线从右边转入左边绕平衡点S-向外旋转最后回到原点O附近左区域内，然后继续由O左区域从左边转入右边绕平衡点S+向外旋转最后回到O附近右区域内。•这样反复的无限循环始终既不趋向平衡点S+也不趋向平衡点S-,永远在平衡点S+和S-之间摆动。第六章非线性微分方程§6.311奇异吸引子与混沌•轨线绕各平衡点旋转次数及平衡点之间摆动次数根据参数轨线初始位置不同而不同,根本无法预测.对初值非常敏感.•Lorenz方程出现的这种轨线的极限集是在一有限区内的吸引集，但它与通常了解的吸引集不同,•既不是平衡点也不是极限环或周期变化的点集.我们称这种吸引集为奇异吸引子(奇怪吸引子).•奇异吸引子还有对初值敏感的特性.存在奇异吸引子这种复杂现象又称为混沌(浑沌).•混沌也可简单解释为对初值的敏感性,初值的细微差异引起后续的巨大不同、也无法预测.第六章非线性微分方程§6.312混沌•通过计算发现对不同参数,Lorenz方程呈现各种复杂的轨线性态,对应于奇异吸引子和混沌现象。•除Lorenz方程外,后来还发一大类具有浑纯特性的系统族.就微分方程而言，只有三维及以上相空间中的轨线才有可能出现混沌或奇异吸引子。•但对映射而言，一维映射即可出现混沌。•李天岩和Yorke研究了Lorenz发表的关于Lorenz方程复杂轨线性态的论文后抽象出其本质，给出著名的“对线段上的连续映射，周期3蕴涵混沌”的Li-Yorke混沌定理。•第一次提出混沌，并给出严格的数学定义。第六章非线性微分方程§6.313周期3蕴涵混沌Li-Yorke混沌定理设I是一个区间，f:I→I连续.如I中有一点a，使b=f(a),c=f(b),d=f(c)，滿足d≤a≤b≤c或d≥a≥b≥c，•则对每一个k=1,2,…,在I中有f的一个周期k的周期点•且I中有不含周期点的不可列集S,•满足(1)对S中的任两个p,q有•(2)对S中的每一个p及I中的任周期点q,有lim()()0,lim()()0.nnnnnnfpfqfpfqlim()()0.nnnfpfq第六章非线性微分方程§6.314混沌•李天岩和York首先给出了混沌的数学定义。•后来又出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的系统，如Henon映射、强迫Duffing方程等。•同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、社会科学中的混沌。•混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”。•混沌已成为一门新学科。