§6.6 变分问题的直接解法

§6.6变分问题的直接解法上一节，我们讨论了将偏微分方程的定解问题转化为对应的泛函问题，求解偏微分方程的定解问题等价于求其对应泛函的极值问题，这一节，主要讨论变分问题的直接解法。一、瑞利-里兹方法()()()()⎪⎩⎪⎨⎧===+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=0,0byayfyxqdxdxpdxdLy（1）对应的泛函为：[]()()∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=badxfyyxqdxdyxpyJ22122，（2）其中[][]{}baCyyyD,20∈=在[]yD中选择合适的基函数()xiϕ（满足边界条件），用选定的基函数的线性组合逼近泛函的极值曲线()()∑==Mniixcxy1ϕ。1、选取三角函数作为基函数，例：()L,2,1,sin=−−=kkabaxxkπϕ（3）()()()()CScccxcxcxyTMMMkkkkkk=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=≈=∑∑=∞=ML212111,,,ϕϕϕϕϕ（4）其中，系数ic待求。2、选取多项式作为基函数，例：()()L,2,11=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=kaxabaxxkkϕ（5）()()()∑∑=∞=≈=Mkkkkkkxcxcxy11ϕϕ（6）其中，系数ic待求。例题：用Ritz法求如下泛函的极值函数[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧==−−=∫01,002'1022yydxxyyyyJ选取满足边界条件的基函数()()L,2,1,1=−=kxxxkkϕ，显然满足()()01,00==kkϕϕ，满足已知条件。则函数簇可写为()()∑==Mkkkxcxy1ϕ（1）、一级近似解取()()()xxcxcxy−==1111ϕ，参数1c为待求量。()()()xcxcxcxy211'111−=−−=将上式代入泛函中，得()[]()()()[]121101222122116110312121ccdxxxxcxxcxcyJcJ−=−−−−−==∫泛函[]yJ取极值，即选取1c使函数()1cJ取极值01=∴dcdJ即061531=−c1851=c所以，一级近似解为()()()xxxyxf−=≈11850（2）二级近似解()()()()()xxcxxcxcxcxy−+−=+=112212211ϕϕ，参数1c为待求量。同理代入泛函中，整理得()[]212122212120112120231013203,ccccccyJccJ−−++==要使泛函有极值，即选取21,cc使函数()21,ccJ取极值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+=∂∂=−+=∂∂0201105132030121203103212211cccJcccJ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒4173697121cc所以，二级近似解为：()()()()xxxxxyxf−+−=≈141713697122同理可以求三级甚至更高级近似，此处不再赘述。（3）精确解由于此泛函对应的常微分方程很容易直接解出来，因此我们把泛函问题转化为对应的E-L方程，即可就其精确解。由公式0'=−yyFdxdF，可得泛函[]()∫−−=10222'dxxyyyyJ对应的E-L方程()0'222=−−−ydxdxy()()⎩⎨⎧===++01,000'yyxyy其解为()()xxxyxf−==1sinsin00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.000.010.020.030.040.050.060.070.08y(x)xf1(x)f2(x)f0(x)()()()为精确解为二级近似解；为一级近似解；xfxfxf021图1图1为一级近似解、二级近似解、精确解的函数图像，由图中可以看出，一级近似解与精确解由较大误差，但二级近似解与精确解比较接近，当取三级或者更高级的近似解，误差将会进一步降低。通常来说，直接求解常微分方程是比较困难的，此处例题我们选择比较简单的泛函，可以通过求解常微分方程的定解问题来求泛函极值的精确解，目的是了解用瑞利-里兹法求泛函极值的基本思路及对其近似解的精度进行考察。在上题中数据分析可得，我们可以用()()()xxxxxf−+−=141713697122近似当做泛函[]yJ的极值函数。然而，在实际工作中，泛函的极值函数很难在区间[]ba,上找到一个函数来逼近极值函数。因此，往往采用将区间[]ba,分成M个很小的等份，每一小等份上的曲线用直线近似逼近曲线。3、选取插值基作为基函数，例()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤−−≤≤−−=+++−−−其他,0,,111111kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxϕ（7）()()()()CScccxcxcxyTMMMkkkkkk=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=≈=∑∑=∞=ML212111,,,ϕϕϕϕϕ（8）C为待求量。关于C的求解问题[]()()∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=badxfyyxqdxdyxpyJ22122()CxSyT=()[]CxSdxdyT′=()()[]CxSxSCdxdydxdydxdyTTT′′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛2，其中()()[](){}MMjiMMTxSxS×=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=′′','',,',''''2121ϕϕϕϕϕϕϕϕLL()()[]CxSxSCyTT=2[]()()()[]()()()[]()[]{}∫−+′′=baTTTTTdxCxSfCxSxSCxqCxSxSCxpCJ221（9）令()()()[]()()()[]{}∫+′′=baTTdxxSxSxqxSxSxpA（10）()∫=badxxfSB（11）则[]CBACCCJTT−=21（12）[]CJ在MR空间上有极小值，则需满足[]0=∇CJC[]()()CBACCCJTCTCC∇−∇=∇其中，()()BBBBCBceCBMMiTiiTC=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=∂∂=∇∑=M211ˆ()()()()()()ACCAAeACCAecacaeccaeccccccaecccaeccaceACCceACCTkTkMjjkjMiiikkMiMjikjjkiijkMiMjkijkjiijkMiMjjikijkMiMjjiijkkTkkTC2ˆˆˆˆˆˆˆˆ1111111111=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∇∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========δδ（A为正定的对称矩阵AAT=）[]0=−=∇BACCJCBAC1−=附：（7）式线性插值基说明：(xk+1,yk+1)(xk-1,yk-1)x2x1y(x)xx0xk-1xkxk+1(xk,yk)xM图2如图所示，假设曲线为泛函的极值曲线，将定义区间[]ba,内划分M个小区间，每个小区间[]1,+kkxx之间用小线段逼近曲线。在区间[]kkxx,1−，线段所满足线性方程：1111−−−−−−=−−kkkkkkxxyyxxyy整理得，在区间[]kkxx,1−，线段所满足线性方程：1111−−−−−−+−−=kkkkkkkkxxxxyxxxxyy（13）同理，在区间[]1,+kkxx，线段所满足线性方程为：kkkkkkkkxxxxyxxxxyy−−+−−=++++1111（14）这样，整个曲线可由M个小直线组合而成。[]kkxx,1−区间直线方程（13）式的第二项与[]1,+kkxx区间直线方程（14）式的第二项，结合起来，可写为()()xyxykkkϕ=（15）其中()xkϕ为（7）式的基函数()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤−−≤≤−−=+++−−−其他,0,,111111kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxϕ所以，区间[]ba,上直线方程可统一写为()()∑==Mkkkxcxy1ϕ，其中kkyc=为()xy在kxx=的值，为待求量。