高考数学第一轮复习球

9.12球●知识梳理1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.2.平面截球所得的截面是圆.3.S球=4πR2；V球=34πR3.●点击双基1.下列四个命题中错误．．的个数是①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆②球面积是它大圆面积的四倍③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长A.0B.1C.2D.3解析：①③错误.答案：C2.（2004年江苏，4）一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是A.3π100cm3B.3π208cm3C.3π500cm3D.3π3416cm3答案：C3.若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍.A.4B.3C.2D.1解析：三球体积之比为1∶8∶27.答案：B4.（2004年北京，理11）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是_____________cm，表面积是_____________cm2.解析：如图所示，Rr30o∵2πr=12π，∴r=6（cm）.设地球仪半径为R，则Rr=R6=sin60°.∴R=43（cm），表面积S=4πR2=192π（cm2）.答案：43192π5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是A.202πB.252πC.50πD.200π解析：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=225.∴S球=4π×R2=50π.答案：C●典例剖析【例1】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A.43B.23C.2D.3解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=3π，OA=OC知OA=AC2O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OAO′A.所以O′AOA2O′A.因为OA=R，所以2R4.因此，排除A、C、D，得B.解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=23.因为∠AOB=θ=3π，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=23.解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=23r=3，D是BC的中点.在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=3π，所以BC=BO=R，BD=21BC=21R.在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=41R2+9，所以R=23.特别提示1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：（1）计算线段AB的长度；（2）计算A、B到球心O的张角；（3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长.【例2】已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积.剖析：先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分类讨论.解：下图为球的一个大圆截面.ABOOO12π·O1A2=49π，则O1A=7.又π·O2B2=400π，∴O2B=20.（1）当两截面在球心同侧时，OO1－OO2=9=227R－2220R，解得R2=625，S球=4πR2=2500π.（2）当两截面在球心异侧时，OO1+OO2=9=227R+2220R，无解.综上，所求球的表面积为2500π.特别提示球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，R2=d2+r2（R、r、d分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作用.【例3】已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?解：下图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，BACh2RO则（2h）2＋r2=R2，即h=222rR.∵S=2πrh=4πr·22rR=4π)(222rRr≤4π2)(2222rRr=2πR2，取等号时，内接圆柱底面半径为22R，高为2R.●闯关训练夯实基础1.（2004年全国Ⅱ，7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O到平面ABC的距离为A.31B.33C.32D.36解析：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，ABCO1∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=2.∴O1为△ABC的中心.∴O1A=36.由OO12＋O1A2=OA2，可得OO1=33.答案：B2.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是A.9π16B.3π8C.4πD.9π64解析：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=332.设球半径为R，则R2－（21R）2=34，所以R2=916，S=4πR2=9π64.答案：D3.已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于_____________.解析：易知球直径2R等于正方体的对角线长3a，由6a2=S，得a=6S，所以V球=3π4R3=3π4（23a）3=3π4（23·6S）3=SS224π.答案：SS224π4.有两个半径都是r的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为_____________.解析：由题意易得交线为半径为23r的圆周，其长为3πr.答案：3πr5.把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，求A、B两点间的球面距离.解：如图，设30°纬度圈的圆心为O1，半径为r，则r=Rcos30°.依题意∠AO1B=60°，OOAB1C取AB的中点C，则BC=Rcos30°sin30°=43R，在Rt△BOC中，sin∠BOC=sin21∠AOB=RBC=43，∴∠AOB=2arcsin43，从而A、B两点的球面距离为2Rarcsin43.OOAB16.如图，三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°.VACB（1）求证：V、A、B、C四点在同一球面上；（2）过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.证明：（1）取VC的中点M，∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，∴MB=MC=MV.同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC.∴MV=MC=MA=MB.∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.（2）取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.培养能力7.已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离.解：∵62+82=102，∴△ABC为Rt△.ABCMO∵球心O在平面ABC内的射影M是截面圆的圆心，∴M是AC的中点且OM⊥AC.在Rt△OAM中，OM=22AMOA=12.∴球心到平面ABC的距离为12.8.（文）将半径为R的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距离.解：如下图，作OH⊥面O1O2O3，OOOO123H∵O3H=332R，∴OH=2323HOOO=362R，球心与桌面的距离为（362+1）R.（理）设A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为3π，点A与B、C两点间的球面距离均为2π，O为球心，求：（1）∠AOB、∠BOC的大小；（2）球心O到截面ABC的距离.解：如图，（1）因为球O的半径为1，B、C两点间的球面距离为3π，点A与B、C两点间的球面距离均为2π，所以∠BOC=3π，∠AOB=∠AOC=2π.ABCOO1（2）因为BC=1，AC=AB=2，所以由余弦定理得cos∠BAC=43，sin∠BAC=47，设截面圆的圆心为O1，连结AO1，则截面圆的半径R=AO1，由正弦定理得r=BACBCsin2=772，所以OO1=22rOA=721.探究创新9.在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.h解：如图，作出圆锥形容器的轴截面，△ABS为等边三角形.ABCDEFGOS∵SG=h，DG=33h，∴V水=3π·DG2·SG=9πh3.设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R，在Rt△FSB中，BF=SFtan∠FSB=3R，设放入球之后，球与水共占体积为V′，则V′=3π·（BF）2·SF=3π（3R）2·3R=3πR3，V球=3π4R3.依题意，有V′=V球+V水，即3πR3=3π4R3+9πh3，∴R=152253h.答：铁球的半径为152253h.●思悟小结1.球的面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形、球半径、截面圆半径、圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要切入点.2.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.计算A、B两点间的球面距离的关键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念.●教师下载中心教学点睛1.要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式.求球面面积、球的体积及两点的球面距离是学习本节的重点.2.球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面：（1）球的截面的性质；（2）球的表面积和体积；（3）球面上两点间的球面距离；（4）球与其他几何体的组合体.而且多以选择题和填空题的形式出现.第（4）方面有时用综合题进行考查.拓展题例【例1】如图，一个广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________.OAB解析：长半轴为OA=5，∠AOB=α，设气球半径为r，则r=5cosα，∴S=4πr2=100πcos2αm2.答案：100πcos2αm2【例2】三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.ABCFODE解法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.设E、F为CD、AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点.在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=873.OABEHF解法二：设球心O到各面的距离为R.4×31SBCD×R=VA—BCD，∵SBCD=21×6×4=12，VA—BCD=2VC—ABE=67.∴4×31×12R=67.∴R=873.评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.