2016年《南方新课堂・高考总复习》数学(理科) 第三章 第1讲 弧度制与任意角的三角函数

第三章三角函数与解三角形第1讲弧度制与任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是按________方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们称它为零角．顺时针2．终边相同的角终边与角α相同的角,可写成S＝{β|β＝α+k·360°,k∈Z}．3．弧度制(1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(3)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.角α的弧度数的绝对值|α|＝____(其中l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r是圆的半径)．(4)弧度与角度的换算：180°＝πrad；1°＝π180rad≈0.01745rad；1rad＝180π°≈57.30°＝57°18′.lr4．弧长公式和扇形面积公式(1)在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为l＝|α|·r；(2)在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为l＝nπr180；S＝12l·r.S＝__________.nπr2360①比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝yr；②比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝xr；③比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝________.yx5．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么6．三角函数值在各象限的符号1．下列各命题正确的是(A．终边相同的角一定相等C．锐角都是第一象限角B．第一象限角都是锐角D．小于90度的角都是锐角2．若sinα0且tanα0，则α是(A．第一象限角C．第三象限角B．第二象限角D．第四象限角4．若角θ的终边在直线x－3y＝0上，θ∈(0,2π)，则θ＝)C)C3．sin870°＝________.__________.12π6或7π6考点1角的概念例1：(1)写出与－1840°终边相同的角的集合M；(2)把－1840°的角写成k·360°＋α(0°≤α＜360°)的形式；(3)若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α.∴－360°≤k·360°＋320°≤360°.∵k∈Z，∴k＝－1，或k＝0.故α＝－40°或α＝320°.∴－680°≤k·360°≤40°，－179≤k≤19.解：(1)M＝{α|α＝k·360°－1840°，k∈Z}．(2)－1840°＝－6×360°＋320°.(3)由(1)(2)，得M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}∵α∈M，且－360°≤α≤360°，【规律方法】在0°到360°范围内找与任意一个角终边相同的角时,可根据实数的带余除法进行.因为任意一个角α均可写成k·360°＋α1(0°≤α1＜360°)的形式，所以与α角终边相同的角的集合也可写成{β|β＝k·360°＋α1，k∈Z}.如本题M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}.由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k＝－1和0即可.【互动探究】1．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()DA．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.∴这四个命题都是正确的．考点2三角函数的概念例2：已知角α终边经过点P(3t,4t)，t≠0，求角α的正弦、余弦和正切．解：由x＝3t，y＝4t，得r＝(3t)2＋(4t)2＝5|t|.当t＞0时，r＝5t.因此sinα＝45，cosα＝35，tanα＝43.当t＜0时，r＝－5t.因此sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.【规律方法】任意角的三角函数值，只与角的终边位置有关，而与角的终边上点的位置无关．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，由于参数t的符号不确定，故用分类讨论的思想，将t分为t＞0和t＜0两种情况，这是解决本题的关键．【互动探究】2．(2014年大纲)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝A．45B．35C．－35D．－45()D解析：由题意，可知：x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝xr＝－45.故选D.考点3三角函数的符号图3-1-1例3：在如图3­1­1所示的算法中，令a＝tanθ，b＝sinθ，c＝cosθ，若在集合θ0θ3π2中任取θ的一个值，输出的结果是sinθ的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：该程序框图的功能是比较a，b，c的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sinθ，需sinθtanθ，且sinθcosθ.∵当θ∈0，π2时，总有tanθsinθ；当θ∈π2，π时，总有sinθ0，tanθ0，cosθ0；当θ∈π，3π2时，tanθ0，sinθ0.故当输出的结果是sinθ时，θ的范围是π2，π.结合几何概型公式，得输出sinθ的概率为π－π232π－0＝13.故选A.答案：A【规律方法】(1)考查算法:该程序框图的功能是比较a,b,c的大小并输出最大值.(2)使输出的结果是sinθ,需sinθtanθ,且sinθcosθ,分θ∈0,2，θ∈,2，θ∈,2讨论正负比较大小.(3)考查几何概型公式.【互动探究】3．下列各式中，计算结果为正数的是()A．tan188°sin275°B.tan100°cos301°C．sin7π6cos3π5tan5π4D.sin6π5tan11π6cos－2π3答案：C解析：选项A，tan188°＞0，sin275°＜0，∴tan188°sin275°＜0.选项B，∵tan100°＜0，cos301°＞0，∴tan100°cos310°＜0.选项C，∵sin7π60，cos3π50，tan5π40，∴sin7π6cos3π5tan5π4＞0.选项D，∵sin6π50，tan11π60，cos－2π30，∴sin6π5tan11π6cos－2π30.●难点突破●⊙函数与不等式思想在三角函数中的应用例题：(1)如图3-1-2，一扇形的半径为r，扇形的周长为4.当圆心角α为多少弧度时，扇形的面积S取得最大值？(2)若一扇形面积为4，则当它的中心角为何值时，扇形周长C最小？图3-1-2解：(1)设AB的长度为l，由已知，得2r＋l＝4，扇形的面积S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1.由已知，得l0，r0，即4－2r0，r0.解得0r2.∴S＝－(r2－1)＋1，其定义域为(0,2)．当r＝1时，二次函数S＝－r2＋2r取得最大值1，此时，l＝4－2＝2，圆心角α＝lr＝2rad.即当圆心角α＝2rad时，扇形的面积最大．(2)设扇形的半径为r，弧长为l，中心角为α(α0)．由S＝12αr2，得α＝2Sr2＝8r2，l＝αr＝8r2·r＝8r.扇形周长C＝2r＋l＝2r＋8r≥22r×8r＝8，当且仅当2r＝8r，即r＝2时，等号成立，即周长C有最小值8.此时l＝8r＝4，α＝42＝2rad.即当α＝2rad时，扇形周长C最小，且最小值为8.【规律方法】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形的面积公式S＝12rl，其中l表示扇形的弧长.(2)扇形的周长为定值，扇形的面积S＝－r2＋2r，利用二次函数求最值；扇形的面积为定值，扇形的周长C＝2r＋8r，利用基本不等式求最值.