韦达定理练习(培优竞赛题)

12第三讲充满活力的韦达定理知识纵横一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．例题求解【例1】(1)已知21xx是方程031222mxx的两个实数根，且0)(22121xxxx，那么实数m的取值范围是_________（河南省中考题）(2)已知、是方程012xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为．（绍兴市竞赛题）思路点拨对于（1），运用根与系数关系建立m的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2）所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。【例2】如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m的取值范围是()A．10mB．43mC．143mD．143m（全国初中数学联赛题）思路点拨设方程的根分别为1、2/1xx，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。13【例3】已知关于x的方程：04)2(22mxmx(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x．（苏州市中考题）思路点拨对于(2)，先判定1x、2x的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m为何值时，2221xx有最小值?并求出这个最小值．（第16届江苏省竞赛题）思路点拨利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．根的分布【例5】cba、、为实数，ac0,且,0532cba证明一元二次方程cbxax2有大于53而小于1的根。（全国初中数学联赛题）[来源:学科网]学历训练基础务实1．方程0122xx的两个实数根分别为)1(121,2,1xxxx）则（．14（烟台市中考题）2．已知关于x的方程042axx有两个实数根，且axx则,7221．（淮安市中考题）3.设1x、2x是方程0342xx的两个根，且,2)35(22221axxx则.__________a（南通市中考题）4．关于x的一元二次方程0122mmxx的两个实数根分别是2212221,2,1)(,7xxxxxx则且的值是（）A.1B.12C.13D.25(包头市中考题)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程0772cxx的两根，那么AB边上的中线长是()A．23B．25C．5D．26．若关于x的方程013222mxx有两个实数根42121,2,1xxxxxx且，则实数m的取值范围是（）A．35mB．21mC．35mD．2135m（天津市中考题）7．已知关于x的一元二次方程01322mxx有两个实数根21,xx。（1）求实数m的取值范围。（2）当02221xx时，求m的值。（毕节市中考题）8．已知关于x的方程012pxx有两个实数根.21xx．(1)求p的取值范围；(2)若,9)]1(2)][1(2[2211xxxx，求p的值．（孝感市中考题）15能力拓展9．已知方程02qpxx的两根均为正整数，且28qp，那么这个方程两根为．（“祖冲之杯”邀请赛）10．已知整数p,q满足,2010qp且关于x的一元二次方程0672qpxx的两个根均为正整数，则p=．(“新知杯”上海市竞赛题)11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程01222mxx的两根，则m的取值范围是．（四川省竞赛题）12．对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程02)2(22nxnx的两根记为),2(,nbann则.________)2)(2(1.....)2)(2(1)2(21200720073322bababa）（（全国初中数学联赛题）13．设04,221xxxx是方程的两个实数根，则1052231xx的值为（）A．-29B．-19C．-15D．-9（第21届江苏省竞赛题）14．若方程02qpxx的一个跟大一1，另一个根小于1，则qp的值为()A.不大于1B.大于1C.小于1D.不小于116（2011年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）15．若1ab，且有babbaa则及,0520019092001522的值为（）A．59B．95C．52001D．92001（全国初中数学联赛题）16．设a，b为整数，并且一元二次方程x2+（2a+b+3）x+（a2+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax2+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β为根的整系数一元二次方程是（）A．2x2+7x+6=0B．2x2+x-6=0C．x2+4x+4=0D．x2+（a+b）x+ab=0（2011年江西省竞赛题）17．设21xx时关于x的一元二次方程22aaxx的两个实数根，求)2)(2(1221xxxx的最大值。（全国初中数学竞赛题）18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80．求实数a的所有可能值．（2011四川省竞赛题）综合创新19、已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0的两根x1，x2满足x12-x22=0，双曲线y=xk4（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C，求S△OBC．（荆州市中考题）1720、已知关于x的一元二次方程02acxx的两个整数根恰好比方程baxx2的两个根都大1，求cba的值。（2011年“《数学周报》”杯全国初中数学竞赛题）