第三节不定积分的分部积分法

第三节不定积分的分部积分法一、基本内容问题?dxxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数,,)(vuvuuv,)(vuuvvu,ddxvuuvxvu.dduvuvvu分部积分公式例1求不定积分.dxxex解,xu设xevxddxxexdxexexxd.Cexexx)(dxex分部积分法的关键是正确选择u和v.选择u和v的原则是:,)1复杂不比vv.)2更简单比uu,dduvuvvu,dxe例2求不定积分.dcosxxx若xxxdcosxxxxxdsin2cos222显然,u和dv选择不当，积分更难进行.解xxxdcos)(sindxxxxxxdsinsin.cossinCxxx)2(dcos2xx例3求不定积分.d)1(2xexx解xexxd)1(2xxeexxxd2)1(2.)(2)1(2Cexeexxxx.)32(2Cexxx)(d)1(2xex再次使用分部积分法)(d2)1(2xxexex例4求不定积分.dcos)2(2xxxx解xxxxdcos)2(2xxxxxxdsin)1(2sin)2(2)(sind)2(2xxx)cos(d)1(2sin)2(2xxxxx]dcos)cos)(1[(2sin)2(2xxxxxxxCxxxxxxsin2)1(cos2sin)2(2.)1(cos2sin)22(2Cxxxxx说明１：口诀（反、对、幂、三、指）例5求不定积分解xxxdarctanxxxxxd112arctan2222xxxxd)111(21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxx)2(darctan2xx.darctanxxx例6求不定积分解xxdarcsin)(arcsindarcsinxxxxxxxxxd1arcsin2.darcsinxx.1arcsin2Cxxx说明２：单纯的反三角函数、对数函数积分，可直接运用分部积分；例7求不定积分.dln3xxx解xxxdln3xxxxd41ln4134.161ln4144Cxxx)4(dln4xx例8求不定积分.dsinxxex解xxexdsin)cosd(xexxxexexxdcoscos)d(sincosxexexxxxexxexxdsin)cos(sinxxexdsin)cos(sin2xxex注意循环形式.C说明３：不定积分可通过解方程求得，但要注意结果+C；可连续几次利用多次分部，但每次应选同一类函数；例9求不定积分.dsec3xx解dxx3secxxxdsecsec2)(secdtantansecxxxxxxdsec3)(tandsecxxxxxxxdsectantansec2xxxxxd)sec(sectansec3xxxxxxdsectanseclntansec3Cxxxx)tanseclntan(sec21例10求不定积分.d)sin(lnxx解xxd)sin(ln)][sin(lnd)sin(lnxxxxxxxxd)cos(ln)sin(ln)][cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxxxxxxxd)sin(ln)]cos(ln)[sin(lnxxd)sin(ln.)]cos(ln)[sin(ln2Cxxx例求不定积分.d)sin(lnxx解,lnux令,uex则,dduexuxxd)sin(lnuueudsin例11求不定积分.d12sinxx解,12ux令xxd12sinuuudsin,212ux则,dduux)cos(duuuuuudcoscosCuuusincos.12sin12cos12Cxxx说明４：有时应结合换元积分，先换元后再分部；例12已知)(xf的一个原函数是2xe,求xxfxd)(.解xxfxd)()(dxfx,d)()(xxfxxf,d)(2Cexxfx由已知可得两边同时对x求导,得,2)(2xxexfxxfxd)(xxfxxfd)()(.2222Ceexxx说明５：被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；解.d)(lnxxxn例13求积分xxxInnd)(ln)2d()(ln2xxn))((lnd21)(ln2122nnxxxxxxxnxxnnd)(ln2)(ln2112122)(ln21nnInxx)1,(*nNn)(*Nn递推公式为),1,(,2)(ln21*12nNnInxxInnn说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递推公式xxxIdln1而)2(dln2xx)(lnd2ln222xxxxxxxxd2ln22Cxxx2ln222.,1nIn由递推公式都可求得所以对任意确定的练习：求下列不定积分.d1arctan)1(2xxxx.d)1()2(2xxxex.d1)1()3(1xexxxx.d1arctan)1(2xxxx解xxxxd1arctan2)1d(arctan2xx)(arctand1arctan122xxxxxxxxxd111arctan1222.)1ln(arctan122Cxxxxxxxxd11arctan122.d)1()2(2xxxex解dxxxex2)1()11(dxxex)d(111xxxexxxexexxexxd1Cexxexx1Cxex1解.d1)1()3(1xexxxxxexexxxxxxdd)1(11原式xexexxxxxxdd)11(112xeexxxxxd)(d11xexexexxxxxxdd111.1Cxexx二、小结２.单纯的反三角函数、对数函数积分，可直接运用分部积分；１.口诀（反、对、幂、三、指）;３.不定积分可通过解方程求得，但要注意结果+C；４.有时应结合换元积分，先换元后再分部；５.被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；６.利用分部积分法可得求不定积分的递推公式。一、填空题：1、xdxxsin________________；2、xdxarcsin_______________；3、计算xdxxln2，u可设_____,dv________；4、计算xdxexcos，u可设____,dv________；5、计算xdxxarctan2，u可设____,dv______；6、计算dxxex，u可设______,dv__________.二、求下列不定积分：1、dxxx2cos22；2、dxxx23)(ln；练习题3、nxdxeaxcos；4、dxex3；5、dxx)cos(ln；6、dxxxex232arctan)1(.三、已知xxsin是)(xf的原函数，求dxxxf)('.四、设CxFdxxf)()(，)(xf可微，且)(xf的反函数)(1xf存在，则CxfFxxfdxxf)()()(111.一、1、Cxxxsincos；2、Cxxx21arcsin；3、dxxx2,ln；4、,xexdxcos；5、dxxx2,arctan；6、dxexx,.二、1、Cxxxxxxsincossin21623；2、Cxxxx]6ln6)(ln3)[(ln123；3、Cnxnnxanaeax)sincos(224、Cxxex)22(33323；练习题答案5、Cxxx)]sin(ln)[cos(ln2；6、Cexxxarctan2121；7、Cexexexxxx22.三、Cxxxsin2cos.