【不等式】三角形结构中的一个解题系统(纯净版)-陶平生

1三角形结构中的一个解题系统陶平生在初等不等式的范围内，有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题，传统的做法通常是“化杂为弦”，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。以下从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用“易弦为切”的方法以及这一系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。一、三角形中的一个运算系统以下常设，x=cotA，y=cotB，z=cotC（或者x=tan2A，y=tan2B，z=tan2C），其中A、B、C为三角形的三个内角，则有：1.1）x，y，z中至少有二个正数，并且x+y、y+z、x+z及x+y+z都是正数。事实上，当x，y，z表示半角的正切函数时，显然x，y，z都是正数。今考虑x，y，z表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即x，y，z中至少有二个正数，并且x+y=cotA+cotB=cossinAA+cossinBB=sin()sinsinABAB0。同理有y+z0，x+z0。又将这三式相加得x+y+z0。1.2）1xyyzxz这是由于，在三角形ABC中成立等式cotAcotB+cotBcotC+cotAcotC=1，以及tan2Atan2B+tan2Btan2C+tan2Atan2C=1。1.3）21()()xxyxz，21()()yxyyz，21()()zxzyz这只要将右端展开，并利用（1.2）式立即可得。1.4）222(1)(1)(1)()()()xyzxyyzxz；222()(1)()(1)()(1)()()()xyzyzxxzyxyyzxz；222(1)(1)1xyxyz，222(1)(1)1yzyzx，222(1)(1)1xzxzy。这只要利用（1.3）式立即可得。1.5）1111xyzxyz（当0xyz）只需将左端通分，并利用（1.2）式即可得到。21.6）()()()xyyzxzxyzxyz。事实上，2()()()()(1)()xyyzxzxyzxyxzyzz(1)xyxyzxyzxyz1.7）2221112()111()()()xyzxyzxyyzxz；2222111()()()xyzxyzxyyzxz；22222221111()()()xyzxyzxyzxyyzxz。事实上，222111111111()()()()()()xyzxyxzxyyzxzyz2()()()()xyzxyyzxz，而222111()()()()()()xyzxyzxyzxyxzxyyzxzyz()()()2()()()()()()xyzyzxzxyxyyzxzxyyzxz又222222222111(1)(1)(1)111111xyzxyzxyz=2()2()233()()()()()()()()()xyzxyzxyzxyzxyyzxzxyyzxzxyyzxz=21()()()xyzxyyzxz。就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际需要，列出更多的等式.由于这组等式分别具有升幂降幂，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用于解证三角形中一类不等式时，显得十分有力。在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽量减少不等价变形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行.三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便.3二、若干基本不等式下面的一组不等式，对于x，y，z表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解证其它不等式时，通常可化归为这些情形。2.1）2221xyz证：2221xyzxyyzzx2.2）3xyz证：由于22222()3xyzxyzxyyzxz（），且xyz为正数，故3xyz。2.3）9xyzxyz证：如果x，y，z中只有二个正数，则90xyz，而0xyz，此时结论显然；如x，y，z都是正数，则因1xyyzxz，故1119xyyzxz，则有9xyzxyz2.4）39xyz证：如果x，y，z中只有二个正数，则结论显然；当x，y，z都为正数时，由于2313()xyyzxzxyz，所以13279xyz2.5）8()()()()9xyxzyzxyz证：()()()xyxzyzxyzxyz818()(9)()xyzxyzxyzxyz以上诸式中，等号成立的充要条件是33xyz，即ABC为正三角形。三、三角形中一些常规不等式的证明在ABC中，若记x=tan2A，y=tan2B，z=tan2C，则有22sin1xAx，221cos1xAx2sin21Axx，21cos21Ax等等（若记x=cotA，y=cotB，4z=cotC，则21sin1Ax，2cos1xAx，等等）。我们注意到，采用“易弦为切”后，上述各式的分母均具有形如21x的结构，而给出的运算系统对于破解和处理这类结构非常有效。下面通过一组例子，来说明采用上述系统解证不等式的一般方法。例1．在ABC中，证明下列不等式：1）1sinsinsin2228ABC2）3sinsinsin2222ABC3）33sinsinsin2ABC4）11123sinsinsinABC证：设x=tan2A，y=tan2B，z=tan2C，则1）222sinsinsin222(1)(1)(1)ABCxyzxyz=1()()()8222xyzxyzxyxzyzxyyzzx2）222sinsinsin222111ABCxyzxyz=xxyyzzxyxzxyyzxzyz13()()()22xxyyzzxyxzxyyzxzyz3）2222224sinsinsin111()()()xyzABCxyzxyyzxz4433882()399xyz4）2221111111111()sinsinsin2222xyzxyzABCxyzxyz5=1119()(3)23223xyzxyz例2．在ABC中，证明：1）23cotcotcot3cotcotcot3ABCABC2）33sinsinsin8ABC3）2229sinsinsin4ABC证：设x=cotA，y=cotB，z=cotC，则：1）cotcotcot3cotcotcot3ABCABCxyzxyz=21223()(9)()3333xyzxyzxyzxyz2）22211sinsinsin()()()(1(1(1ABCxyyzxzxyz）））1133888()399xyz3）2222221112()sinsinsin111()()()xyzABCxyzxyyzxz2()984()9xyzxyz例3．在ABC中，证明：1tantantan(secsecsec)2222222ABCABC证：令x=tan2A，y=tan2B，z=tan2C，即要证：2221(111)2xyzxyz，而2221(111)2xyz1(()()()()()())2xyxzxyyzxzyz61()()()()()()4xyxzxyyzxzyzxyz，故得证。例4．ABC的外接圆半径为R，面积为，证明29tantantan2224ABCR证：由于22sinsinsinRABC，即要证9tantantan2228sinsinsinABCABC①令x=tan2A，y=tan2B，z=tan2C，即要证22291118222xyzxyzxyz，也即264()()()()9xyyzxzxyzxyz②因为()()()8xyyzxzxyz，8()()()()9xyyzxzxyz相乘得②式成立，从而命题得证。例5.（Weitzenböck不等式）ABC的边长为a，b，c，面积为，证明22243abc证：由于2sinaRA，2sinbRB，2sincRC，22sinsinsinRABC，即要证222sinsinsin23sinsinsinABCABC。令x=cotA，y=cotB，z=cotC，即要证22222211123111111xyzxyz，也即2()23()()()()()()xyzxyyzxzxyyzxz，因此只要证3xyz，此为显然。例6．设zyxcba,,,,,为正数，满足：caybxbcxazabzcy,,,试求函数zzyyxxzyxf111,,222的最小值。（2005年全国联赛试题）解：由条件得，0)()()(abzcyacaybxcbcxazb即：bcacbxcbabcx2,02222222同理得，acbcay2222，222,2abczab因zyxcba,,,,,为正数，据以上三式知，222acb，222bca，7222cba，故以cba,,为边长，可构成一个锐角ABC，因此，CzByAxcos,cos,cos问题化为，在锐角ABC中，求函数222coscoscoscos,cos,cos1cos1cos1cosABCfABCABC的最小值。令CwBvAucot,cot,cot，则1,,,wuvwuvRwvu，且)()(12wuvuu，)()(12wvvuv，)()(12wvwuwwuvuuuwuvuuuuuuuuuuuuuuuuuuAA112)()(11)1(11111cos1cos32322322222222222同理，wvvuvvBB112cos1cos322，wvwuwwCC112cos1cos32221)(212121222222222333333222uwvwuvwuwuwvwvvuvuwvuwuwuwvwvvuvuwvuf（取等号当且仅当,wvu此时，21,zyxcba）四、典型方法与技巧下面介绍处理一些较难问题的方法，所列例题，大都取自各杂志的“问题栏”或有关论文中，但按本文给出的方法重新解证，借以说明运用本论证系统解证问题的基本技巧。1．齐次化原则此法要点是，利用1xyyzxz将所证式的各项化为齐次。运用上述系统解题，齐次化思想是非常重要的，这是由于，在解证不等式，特别是较强的不等式时，须尽量避免作不等价变形（即尽量少用其它不等式过渡）。因为每作一次不等价变形，结论就可能减弱一次。而齐次化之后，有利于把各项重新组凑，使其内在的关系得以充分显现。例7．试证，在ABC中，1cotcotcot(cotcotcot)3222ABCABC8证：令x=tan2A，y=ta