最新2019高一下学期第一次月考数学(理)试卷

满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是()A．5个B．4个C．3个D．2个2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32B．16C．24D．483．若直线l经过原点和点(-1，1)，则直线l的倾斜角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．-45°4．下列命题正确的是()①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④5．如图,正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．8B．6C．2(1+√3)D．2(1+√2)6．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°7．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．√6𝜋B．8√6𝜋3C．8√6𝜋D．24𝜋8．下列说法的正确的是A．经过定点的直线的方程都可以表示为𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)B．经过定点𝐴(0，𝑏)的直线的方程都可以表示为𝑦=𝑘𝑥+𝑏C．不经过原点的直线的方程都可以表示为D．经过任意两个不同的点𝑃1(𝑥1，𝑦1)、𝑃2(𝑥2，𝑦2)的直线的方程都可以表示为(𝑦−𝑦1)(𝑥2−𝑥1)=(𝑥−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)9．如图，在三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC,SA=3，AC=2，AB丄BC，点P是SC的中点，则异面直线SA与PB所成角的正弦值为（A）1313（B）133（C）13133（D）1313210．已知直线𝑙1:𝑥sin𝛼+𝑦−1=0，直线𝑙2:𝑥−3𝑦cos𝛼+1=0，若𝑙1⊥𝑙2，则sin2𝛼=（）A．35B．−35C．23D．−2311．已知点𝐴(2,3)，𝐵(−3,−2)，若直线𝑙过点𝑃(1,1)与线段𝐴𝐵始终没有交点，则直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是（）A．34𝑘2B．𝑘2或𝑘34C．𝑘34D．𝑘212．如图，正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1各条棱的长度均相等，𝐷为𝐴𝐴1的中点，𝑀,𝑁分别是线段𝐵𝐵1和线段𝐶𝐶1的动点（含端点），且满足𝐵𝑀=𝐶1𝑁，当𝑀,𝑁运动时，下列结论中不正确．．．的是A．在𝛥𝐷𝑀𝑁内总存在与平面𝐴𝐵𝐶平行的线段B．平面𝐷𝑀𝑁⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1C．三棱锥𝐴1−𝐷𝑀𝑁的体积为定值D．𝛥𝐷𝑀𝑁可能为直角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．答案填在答题卡上的相应位置．13．经过点𝑃(0,1)作直线l与连接𝐴(−1,−2)，𝐵(2,1)的直线垂直，则直线l的方程为______．14．球O面上四点P、A、B、C满足：PA、PB、PC两两垂直，3,4,53PAPBPC，则球O的表面积等于______．15．过点𝑃(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.16．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________(填序号)．①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③EG⊥平面SGF；④FG⊥平面SEG.三、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知几何体的三视图如下，其侧视图的长为2√3.宽为2，其俯视图为等边三角形，试求它的表面积和体积。（单位：cm）18．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点A(－1,2)，B(4，－2)；(2)在y轴上的截距是2，且与x轴平行；19．求过点𝐴(−5,−4)且与两坐标轴所围三角形的面积为5的直线方程.20．如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=2，𝐶𝐷=3，𝑀为𝑃𝐶上一点，且𝑃𝑀=2𝑀𝐶.（1）求证：𝐵𝑀//平面𝑃𝐴𝐷；（2）若𝐴𝐷=2，𝑃𝐷=3，∠𝐵𝐴𝐷=𝜋3，求三棱锥𝑃−𝐴𝐷𝑀的体积.21．如图，直三棱柱111ABCABC中，,DE分别是1,ABBB的中点，ABBC.（1）证明：1//BC平面1ACD；（2）证明：平面1AEC平面11ACCA.22．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：AE⊥平面PCD；(2)求PB和平面PAD所成的角的大小；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．参考答案1．B【解析】试题分析：由正视图和侧视图可知，几何体可以为圆柱挖去一个小圆柱、圆柱挖去正方体，正方体挖去圆柱、正方体挖去直三棱柱，所以图①②③⑤都可作俯视图，图④不能，选B．考点：三视图．2．B【解析】试题分析：如图，几何体为四棱锥，下底是直角梯形，上底2，下底4，直角腰4，AE底面，4AE,1644422131V,故选B.考点：根据三视图求几何体的体积3．B【解析】由题意可知直线l的斜率为1k，设直线的倾斜角为，则1tan，解得135。选B。4．D【解析】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．所以只有③④正确，故选D．点睛:如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．5．A【解析】【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于𝑥轴的线段，在直观图中画成平行于𝑥′轴，长度保持不变，已知图形平行于𝑦轴的线段，在直观图中画成平行于𝑦′轴，且长度为原来一半．由于𝑦′轴上的线段长度为√2，故在平面图中，其长度为2√2，且其在平面图中的𝑦轴上，由此可以求得原图形的周长．【详解】由斜二测画法的规则知与𝑥′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在𝑦′轴上，可求得其长度为√2，故在平面图中其在𝑦轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2√2，其原来的图形如图所示：∴原图形的周长是8.故选A．【点睛】本题考查了平面图形的直观图,考查了数形结合思想,解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法,能正确的画出直观图的原图形.6．A【解析】试题分析：连接𝐵′𝐶，则𝛥𝐴𝐵′𝐶为等边三角形，设𝐴𝐷=𝑎，则𝐵′𝐷=𝐷𝐶=𝑎,𝐵′𝐶=𝐴𝐶=√2𝑎，所以∠𝐵′𝐷𝐶=900，故选A.考点：1、平面与平面的位置关系；2、二面角的求法.【易错点晴】本题考查的是平面与平面的位置关系、二面角的求法，属于难题；二面角问题先要找出二面角，从两个平面的交线入手，找出从一个点出发的垂直于两平面交线的两条直线，此即为二面角的平面角；在三角形内，求出该平面角即可．7．A【解析】【分析】还原几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形，易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形.其中𝑃𝐷⊥底面ABCD，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为𝑃𝐵=√12+22+12=√6.球体积为：43𝜋(√62)3=√6𝜋.故选A.【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.8．D【解析】【分析】考虑斜率不存在和平行于x轴的直线，利用排除法。【详解】经过定点的直线的方程都可以表示为𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)但斜率不存在时，无法表示，故A错，同理B错。斜率不存在和平行于x轴的直线也无法表示，故C错。所以D正确。故选D。【点睛】本题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，一定要注意斜率不存在的情况。9．D【解析】试题分析：过P作PO⊥AC，垂足为O，连接BO．如图：∵SA⊥AC，∴PO∥SA，∴∠OPB为异面直线SA与PB所成的角．∵SA丄平面ABC，∴平面SAC⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，BO⊂平面ABC，∴PO⊥BO．∵点P是SC的中点，OP∥SA，∴PO=232SA，在△ABC中，AC=2，AB丄BC，∵O是AC的中点，∴BO=1在Rt△POB中，PB=213∴sin∠OPB=13132∴异面直线SA与PB所成角的正弦值为13132．考点：异面直线及其所成的角．10．A【解析】【分析】由两直线垂直可得tan𝛼,再由sin2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛2𝛼+1即可得解.【详解】直线𝑙1:𝑥sin𝛼+𝑦−1=0，直线𝑙2:𝑥−3𝑦cos𝛼+1=0，若𝑙1⊥𝑙2，则sin𝛼−3cos𝛼=0，即tan𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=3.所以sin2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛2𝛼+1=610=35.故选A.【点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件及同角三角函数的关系,属于中档题.11．A【解析】【分析】先求出𝐴𝑃,𝐵𝑃的斜率，根据直线与线段𝐴𝐵始终没有交点，可知其斜率的取值范围.【详解】因为𝑘𝐴𝑃=3−12−1=2，𝑘𝐵𝑃=−2−1−3−1=34，如图：因为直线与线段𝐴𝐵始终没有交点，所以斜率k的取值范围是(34,2).故选A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，数形结合的思想方法，属于中档题.12．D【解析】【分析】A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥𝐴1−𝐷𝑀𝑁的体积与三棱锥N−𝐴1𝐷𝑀体积相等，三棱锥N−𝐴1𝐷𝑀的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面𝐷𝑀𝑁⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积