2.3.1平面向量基本定理(1)

2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一般地,实数与向量的积是一个向量,记作:aa(1)(2)当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相同;(3)当时,或时,|;|||||aa000a0aaaa0a一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下:二、数乘的运算律：(2)第一分配律:(1)结合律:(3)第二分配律:aa)()(aaa)(baba)(1.定理:向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得.abab三、向量共线的充要条件：2).证明三点共线:2.定理的应用：1).证明向量共线又B为公共点A,B,C三点共线AB∥BCAB=λBC设、是同一平面内的两个不共1e2e线的向量，a是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究a与、之间的关系。1ea2e研究OC=OM+ON=21OA+OB11e2e2即a=+.1ea1eA2eOaCB2eNMMN平面向量基本定理一向量a有且只有一对实数、使21共线向量，那么对于这一平面内的任如果、是同一平面内的两个不1e2e11ea=+2e2示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表1e2e（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考(2)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？21（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE(1)不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底;12,ee平面向量基本定理:(4)基底给定时,分解形式唯一.(2)基底不唯一;12e,e0如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使1122aee12,12,eea(3)任一向量都可以沿两个不共线的方向（的方向）分解成两个向量（）和的形式；a12,ee1122,ee说明：已知向量求做向量-2.5+3例1：、1e2e1e2e1e2e15.2e23eOABC·例2：凸四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,用表示1EF(ABDC)2DABCEFCDAB,EF向量的夹角)1800(两个非零向量和，作，ab,OAaOBb180与反向abOABabOAa0BbbAOBab则叫做向量和的夹角记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的与同向abOABaba向量的正交分解12112212,,eeeeee　　一个平面向量用一组基底表示成ａ的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使成立aaxiyj则称（x，y）是向量的坐标aji如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底.ij、记作：(,)axyaa(4)如图以原点O为起点作，点A的位置被唯一确定.aOAaOxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示aaji(x,y)A此时点A的坐标即为的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)a注意：（3）两个向量相等的充要条件：1122(,),(,)axybxy(6)22axy例1．如图，用基底，分别表示向量并求它们的坐标．解：由图可知1223aAAAAij(2,3)a　同理，23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dij平面向量的坐标表示,,,abcdjiA1AA2yxO1abcdij