高中数学必修四知识点

-1-数学必修四知识点梳理第一章三角函数、三角恒等变换一、角的概念的推广●任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。●正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。●象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。●终边相同角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。二、弧度制●角度定义制规定周角的3601为一度的角，记做1°，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。●弧度制定义1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad。2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。●弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是rl||α。α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。三、任意角的三角函数●任意角的三角函数的定义设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P的坐标是（x,y），它与原点的距离r（220rxy），那么-2-1、比值yr叫做α的正弦，记做sin，即sinyr。2、比值xr叫做α的余弦，记做cos，即cosxr。3、比值yx叫做α的正切，记做tan，即tanyx。另外，我们把比值xy叫做α的余切，记做cot，即cotxy；把比值rx叫做α的正割，记做sec，即secrx；把比值ry叫做α的余割，记做csc，即cscry。对于一个确定的角α，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。●诱导公式一终边相同角的同一个三角函数的值相等。sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，以上k∈Z。利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2π角的三角函数值。●正弦线、余弦线、正切线1、如图所示，设任意角α的终边与单位圆交于点P（x,y），那么sin1yyyr，cos1xxxr。过点P（x,y）作PM⊥x轴于M，我们把线段MP，OM都看做规定了方向的有向线段：当MP的方向与y轴的正方向一致时，MP是正的；当MP的方向与y轴的负方向一致时，MP是负的。因此，有向线段MP的符号与点P纵坐标的符号总是一致的，且|MP|=|y|，即总有MP=y。同理也有OM=x成立。从而sinyMP，cosxOM。我们把单位圆中规定了方向的线段MP，OM分别叫做角α的正弦线、余弦线。2、如图所示，过A（1,0）作x轴的垂线，交α的终边OP的延长线（当α为第一、四象限角时）或这条终边的反向延长线（当α为第二、三象限角时）于点T，借助于有向线段OA，AT，我们有tanyATATxOA。于是，我们把规定了方向的线段AT叫做α的正切线。特别地，当α的终边在x轴上时，点A与点T重合，xyoPMxyPMTAO-3-tan0AT；当α的终边落在y轴上时，OP与垂线平行，正切线不存在。四、同角三角函数的基本关系●同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。由三角函数定义有sinyr，cosxr，tanyx。①222222222sincos()()1yxxyrrrrr，即22sincos1。②当()2kkZ时，sintan(,)cos2kkZ，即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于α角的正切（其中,2kkZ）。●关于公式22sincos1的深化21sinsincos；1sinsincos；1sinsincos22如：1sin8sin4cos4sin4cos4；1sin8sin4cos4五、正弦、余弦的诱导公式●0°~360°之间角的划分对于任何一个0°到360°的角，以下四种情形有且仅有一种成立：[0,90)180[90,180)180[180,270)360[270,360)●诱导公式二sin()sin，cos()cos，tan()tan。●诱导公式三sin()sin，cos()cos，tan()tan。●诱导公式四sin()sin，cos()cos，tan()tan。以上几个诱导公式可以叙述为：对于2()kkZ，则，的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号。也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。●诱导公式五-4-sincos2，cossin2。●诱导公式六sincos2，cossin2。可以概括为：2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。六、两角和与差的正弦、余弦、正切●两角和的正弦、余弦、正切sinsincoscossin，coscoscossinsin，tantantan1tantan。●两角差的正弦、余弦、正切sinsincoscossin，coscoscossinsin，tantantan1tantan。此处公式较多，可熟记两角和的三个公式，两角的差可以看做()，进行推导。●积化和差公式1sincos[sin()sin()]2，1cossin[sin()sin()]2，1coscos[cos()cos()]2，1sinsin[cos()cos()]2。●和差化积公式sinsin2sincos22，-5-sinsin2cossin22，coscos2coscos22，coscos2sinsin22。七、二倍角的正弦、余弦、正切●二倍角的正弦、余弦、正切sin22sincos，2222cos2cossin2cos112sin，2sin22tantan2cos21tan。●公式的逆向变换及相关变形2221sin2sincoscos(sincos)，221cos2cos,1cos2sin22，21cos(1cos2)2，21sin(1cos2)2。●半角公式1cossin22，1coscos22，1costan21cos。八、正弦函数、余弦函数的图像和性质●正弦函数、余弦函数图像的画法1、几何法利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像。2、五点法观察正弦函数的图像，可以看出，下面五个点在确定正弦函数的形状时有重要作用：（0,0），（,12），（,0），（3,12），（2,0）。这五点描出后，正弦函数y=sinx，x∈[0,2π]图像形状就基本确定了。同样，（0，1），（,02），（,1），（3,02），（2,1）这五个点描出后，余弦函数-6-y=cosx，x∈[0,2π]的图像形状就基本确定了。用光滑曲线将五个点连接起来，再将这段曲线向左、向右平移，每次平移2π个单位，就得到了y=sinx，y=cosx，x∈R的图像。3、正弦曲线、余弦曲线我们把正弦函数y=sinx，x∈R和余弦函数y=cosx，x∈R的图像分别叫做正弦曲线和余弦曲线。●定义域、值域函数定义域值域y=sinx（-∞，+∞）[-1，1]y=cosx（-∞，+∞）[-1，1]●周期性1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)。那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2、对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正整数，那么这个最小的正整数就叫做f(x)的最小正周期。、3、因为sin(2)sinxkx，cos(2)cos()xkxkZ，对于任意整数k，2kπ都是正弦函数和余弦函数的周期，其中2π是它们的最小正周期。4、周期函数不见得总有最小正周期，如f(x)=c(x∈R),其中c为常数，其周期T可以是任意实数。周期函数的周期不唯一，若T是f(x)的周期，则kT(k∈Z)也在定义域内，因此周期函数的定义域一定是无限集。●奇偶性1、奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。2、由诱导公式可知sin()sin()xxxR，cos()cos()xxxR，tan()tan()xxxR，故y=sinx（x∈R）是奇函数，y=cosx（x∈R）是偶函数。3、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。●单调性1、对于函数sin(),[2,2]()22yxxRkkkZ是它的增区间，3[2,2]()22kkkZ是它的减区间。2、对于函数cos(),[2,2]()yxxRkkkZ是它的增区间，[2,2]()kkkZ是它的减区间。九、函数sin()yAx的图像●A对y=Asinx的图像的影响-7-要得到函数y=Asinx（A0，A≠1）的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍，而各点的横坐标保持不变得到的。故y=Asinx（A0，A≠1，x∈R）的值域是[-A，A]，最大值为A，最小值是-A。特别地，推广到一般的情形，函数y=A·f(x)（A0，A≠1）的图像，也可以看做y=f(x)的图像上各点保持横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍得到的。容易发现，A不会改变函数的周期，即y=f(x)若为周期函数且周期是T，则y=A·f(x)（A0，A≠1）的周期也是T。●ω对y=sinωx的图像的影响函数y=sinω（ω0，ω≠1）的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有的横坐标缩短（当ω1时）或伸长（当0ω1时）到原来的1倍，而各点的纵坐标保持不变得到的。y=sinω（ω0，ω≠1，x∈R）的值域是[-1，1]，但其周期由y=sinω的周期2π改变为2，即y=sinω（ω0，ω≠1）得周期是2π的1倍。推广到一般的情形，将函数y=f(x)的图像上各点纵坐标保持不变，而横坐标伸长（当0ω1时）或缩短（当ω1时）为原来的1倍，即可得到函数y=f(ωx)（ω0，ω≠1）的