函数的极值与最值

5函数的极值与最值一、极值的定义二、函数极值的求法三、最值的求法四、应用举例一、函数极值的定义oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称极值。注意：函数的极值是函数的局部性质.二、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x3xyyox(1)如果,0xx有;0)('xf而0xx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果,0xx有;0)('xf而0xx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果在0x的左右两侧,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)设在点处可导数,且，)(xf0x0)(0'xfxyoxyo0x0x(不是极值点情形)xyo0xxyo0x(是极值点情形)例5解：.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx).,(x例6解：.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf2xyo1注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.).,(x求极值的步骤:求驻点及不可导的点；)2(;,)()(2)3(判断极值点间的正负号驻点和不可导点左右区在检查的定义域，）中的点划分函数用（xfxf.)4(求极值;)()1(的定义域求函数xf设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值例7解：.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.48注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf三、最值的求法oxyoxybaoxyabab则其最值只能在极值点或端点处达到.特别:•当在内只有一个极值可疑点时,•当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)四、应用举例例1解)1)(2(6)(xxxf.]4,3[14123223上的最大值与最小值的在求函数xxxy得解方程,0)(xf.1,221xx计算)3(f;23)2(f;34)1(f;7，最大值142)4(f;142比较得.7)1(f最小值)4(f(k为某常数)例2.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工20AB100C解:设,(km)xADx则,2022xCD,)34005(2xxky23)400(40052xky令得又所以为唯一的15x极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?DKm,公路,价之比为3:5,实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;或最小）值．函数值即为所求的最（点，则该点的若目标函数只有唯一驻例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，x租出去的房子有套，1018050x每月总收入为)(xR)20(x1018050x1068)20()(xxxR101)20(1068)(xxxR570x0)(xR350x（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为1035068)20350()(xR)(10890元1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值五、小结(3)第二充分条件为极大值为极小值2.最值与极值的区别:最值是整体概念而极值是局部概念.1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;实际问题求最值的步骤:P162习题3-51(1)(2),3,4(1),8,9;思考题若)(af是)(xf在],[ba上的最大值或最小值，且)(af存在，是否一定有0)(af？思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例xxfy)(]1,0[x在有最小值，但0x01)0(f一、填空题：1、最值可_____________处取得.2、函数2332xxy(41x)的最大值为_________；最小值为__________.3、函数2100xy在[0,8]上的最大值为____________；最小值为___________.4、设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始移动，摩擦系数=0.25，问力f与水平线的交角为_____时，才可使力f的大小为最小，则此问题的目标函数为______________，讨论区间为_____________.练习题5、从一块半径为R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为_________时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为________________考察区间为_______________.二、求函数xxy542(0x)的最值.三、求数列nn210的最大项.四、要造一圆柱形油灌，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？五、由2xy,0y,ax(0a)围成一曲边三角形OAB，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲线2xy的切线与OA，OB围成的三角形面积最大.一、1、区间端点及极值点；2、最大值80)4(y,最小值5)1(y；3、10,6；4、)2,0[,sincos,arctanpf；5、38,)2,0(,42464223RV.二、3x时函数有最小值27.三、14.四、.1:1:;22,233hdvhvr五、)94,32(2aa.练习题答案