2.1随机变量及其类型

高校理科通识教育平台数学课程概率论与数理统计●讲授孙学峰第二章随机变量及其分布•随机变量•离散型随机变量•随机变量的分布函数•连续型随机变量•随机变量的函数的分布2.1随机变量及其类型2.1.2随机变量的分类2.1.3离散型随机变量及其分布2.1.4随机变量的分布函数2.1.1随机变量●用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用存在较大局限。为此，我们将随机试验结果量化，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果ω，都有一个实数X(ω)与之对应，试验的结果ω实数X(ω)对应关系X则X的取值随着试验的重复而不同，X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。2.1.1随机变量的概念由定义可知，随机变量X(ω)是以样本空间Ω为定义域的一个单值实值函数。有关随机变量定义的几点说明：(1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数，常用大写字母X、Y、Z或小写希腊字母、、等表示。(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的概率是确定的；(3)随机变量X(ω)的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。例2.1一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”；{X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”；……{X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。例2.2将一颗骰子投掷两次，观察所的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……………………P(X=2)=1/36……………P(X=3)=2/36……P(X=4)=3/36…………………P(X=12)=1/36例2.3一正整数n等可能地取1,2,3,…,15共十五个值，且设X=X(n)是除得尽n的正整数的个数，则X是一个随机变量，且有下表：即可得X取各个可能值的概率为：n123456789101112131415X(n)122324243426244X12346P1/156/152/155/151/15例2.4一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是[0，5]离散型随机变量连续型非离散型奇异型（混合型）随机变量的分类：2.1.2随机变量的分类随机变量2.1.3离散型随机变量一、离散型随机变量及其分布律1、离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。2、分布律设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1,x2,…,xk,…,且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pk,…,即则称P(X=xk)=pk(k=1,2,…)为随机变量X的概率分布律，简称分布律。分布律可用表格形式表示为：11)(kkkkpxXP1P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且满足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…2,1,0,)(35332kCCCkXPkk＝＝例2.5设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解X=k的所有可能取值为0，1，2X是一个随机变量554321)1()()0(pAAAAAPXP...)()1(5432154321AAAAAAAAAAPXP5,...,1,0)1()(55kppCkXPkkk...){)2(5432154321AAAAAAAAAAPXP3225)1(ppC解设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2，…，A5相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。4)1(5pp二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律1、(0-1)分布若随机变量X的分布律为：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0p1)则称X服从以p为参数的0-1分布，记为X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可写成X10Pp1-p即随机变量只可能取0，1两个值，且取1的概率为p，取0的概率为1-p(0p1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为Ω={ω1,ω2},我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量1210X当发生时，当发生时，即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。2、二项分布(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。设随机试验满足：1°在相同条件下进行n次重复试验；2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；4°各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p，发生的概率为1-p=q。A(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即个个个个个个kknknkknkAAAAAAAAAAAAAAAAAA11这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出现，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。A由4°独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此nkqpCkXPknkkn,,2,1,0,)(此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为)-1(;,;pqnkqpCpnkBknkkn,,2,1,0,)(（2）二项分布定义若随机变量X具有概率分布律nkqpCkXPknkkn,,2,1,0,)(其中p+q=1，则称随机变量X服从以n，p为参数的二项分布，记为X~B(n,p)（或称贝努里分布）。可以证明：nkqpCkXPknkkn,,2,1,0)(0,1)()(nnkknkknnkqpqpCkXP00knkknqpC正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为0-1分布。例2.7设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。解（视作放回抽样检验）设(X=k)表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，…，100。本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律为100,,2,1,0,998.0002.0)(100100kCkXPkkk例2.8某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率室0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。解设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，…，7。X~B(7,0.6)。因此X的分布律为7,...,2,1,0,4.06.0)(77kCkXPkkk所求概率为)7()6()5()4()4(XPxPXPXPXP7102.0)4.0()6.0(7477kkkkC例2.9从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。解(1)由题意，X~B(6,1/3)，故X的分布律为：6,...,1,03231)(66kCkXPkkk)6()5()5()2(XPXPXP729133132316556C例2.10某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。解每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则X的分布律为X~B(400,0.02)，400,,2,1,0,98.002.0)(400400kCkXPkkk所求概率为)400()3()2()2(XPXPXPXP)1()0(1XPXP997.098.002.040098.01399400泊松(Poisson)定理设0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有,...2,1,0,!)1()(kekppCkXPkknkkn即当随机变量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小时，记=np，则ekppCkknnknknn!)1(lim例2.10可用泊松定理计算。取=np=400×0.02＝8,近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.9969813、泊松(Poisson)分布若随机变量X所有可能取值为0,1,2,…，且其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P()。,2,1,0,!)(kekkXPk泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。例2.11某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？解用X表示每月销量，则X~P()=P(5)。由题意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即kikiieiiXP005999.0!5)(105001.0999.01)(1!5kikiiiXPei这里的计算通过查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5145001.0000698.0!5iiei135001.0002019.0!5iieii=k+1=14时,i=k+1=13时,k+1=14，k=13即月初进货库存要13件。例2.12设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。2~(),1(0)(1)3XpPXPXPXe且)2()1()0(1)3(