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第一章习题解答1.1已知A、B和C为任意矢量,(1)若A·B=A·C,则是否意味着B总等于C呢?试讨论之;(2)试证明:A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)。解:(1)A·B=ABcosθ1A·C=ACcosθ2若A·B=A·C,则ABcosθ1=ACcosθ2则Bcosθ1=Ccosθ2,但是并不意味着B总等于C若A·B=A·C,而且有A×B=A×C,则有:Bcosθ1=Ccosθ2,Bsinθ1=Csinθ2故tanθ1=tanθ2得θ1=θ2,B总等于C(2)zyxzyxzyxCCCBBBBaaaC=×=ax(ByCz-BzCy)+ay(BzCx-BxCz)+az(BxCy-ByCx)A·(B×C)=Ax(ByCz-BzCy)+Ay(BzCx-BxCz)+Az(BxCy-ByCx)zyxzyxzyxAAACCCCaaaA=×=ax(CyAz-CzAy)+ay(CzAx-CxAz)+az(CxAy-CyAx)B·(C×A)=BBx(CyAz-CzAy)+By(CzAx-CxAz)+Bz(CxAy-CyAx)=Ax(ByCz-BzCy)+Ay(BzCx-BxCz)+Az(BxCy-ByCx)zyxzyxzyxBBBAAAaaaBA=×=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)C·(A×B)=Cx(AyBz-AzBy)+Cy(AzBx-AxBz)+Cz(AxBy-AyBx)=Ax(ByCz-BzCy)+Ay(BzCx-BxCz)+Az(BxCy-ByCx)1.2给定三个矢量A,B,:CA=xa+2ya-3zaB=-4+yaza=5Cxa-2za求:矢量A的单位矢量Aa;矢量A和B的夹角ABθ;A·B和A×BA·(B×C)和(A×B)·C;A×(B×C)和(A×B)×C解:Aa=AA=149A++=(xa+2ya-3za)/14cosABθ=A·B/ABABθ=135.5oA·B=11,−A×B=−10xa−ya−4zaA·(B×C)=−42(A×B)·C=−42A×(B×C)=55xa−44ya−11za(A×B)×=2Cxa−40ya+5za1.4已知直角坐标系中的点P1(-3,1,4)和P2(2,-2,3):(1)在直角坐标系中写出点P1、P2的位置矢量r1和r2;(2)求点P1到P2的距离矢量的大小和方向;(3)求矢量r1在r2的投影。解:(1)=-31rxa++4;yaza2r=2xa−2+3;yaza(2)R==52r−1rxa−3ya−za222(5)(3)(1)R=+−+−=35(3)矢量r1在r2的投影:122417rrr⋅=1.7用球坐标表示的场225Earr=,求:(1)在直角坐标系中的点(-3,4,-5)处的|E|和Ez;(2)E与矢量B=2ax-2ay+az之间的夹角。解:(1)|E|=225r=0.5由aaarxyxazyzrrr=++得225Eaaaxyzxyzrrrr⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠()325aaaxyzxyzr=++=22rxyz=++∵2故()1345102Eaaaxyz=−+−得Ez122=−(2)E与矢量B之间的夹角cosEBEBθ⋅=×19230=−=0.896−153.64θ∴=°1.10在圆柱体2x+2y=9和平面x=0,y=0,z=0及z=2所包围的区域,设此区域的表面为S:求矢量场A沿闭合曲面S的通量,其中矢量场的表达式为A=xa32x+(3y+z)+yaza(3z−x)验证散度定理。解:∫•sdA=AdS•∫曲+AdS•∫xoz+AdS•∫yoz+AdS•∫上+AdS•∫下由a=cossinaaxyρϕϕ+,cosxρϕ=,sinyρϕ=得AdS•∫曲==.(Aa)ddzρρϕ∫曲2323(3cos3sinsin)zdzdρρϕρϕϕρϕ=++∫曲=156.4AdS•∫xoz=()ayAdxdz•−∫xoz=0(3)yyzdxdz=−+∫xoz=−6=AdS•∫yoz()axAdydz•−=∫xoz−203xxdydz=∫yoz=0+=AdS•∫上AdS•∫下2()azzAddρρϕ=•∫上+0()-azzAddρρϕ=•∫下=(6cos)ddρϕρϕρ−∫上+2cosddρϕρϕ∫下=272π故∫•sdA=193由=dVAV∫•∇(66)VxdV+∫=6(cos1)Vdddzρϕρρϕ+∫=193即:∫•ssdA=dVAV∫•∇(cos1)Vdddzρϕρρϕ+∫1.11从P(0,0,0)到Q(1,1,0)计算, 其中矢量场A的表达式为lAdC⋅∫A=ax4x-ay14y2曲线C沿下列路径:(1)x=t,y=t2;(2)从(0,0,0)沿x轴到(1,0,0),再沿x=1到(1,1,0);(3)此矢量场为保守场吗?解:(1)沿y=x2路径,lAdC⋅∫Aaa()xyCdxdy=⋅+∫=5428-cxdxxdx∫1260426=-28xx××83-=(2)=lAdC⋅∫12AaAaxyCCdxdy=⋅+⋅∫∫104xdx∫+12014-ydy∫83-=(3)此矢量场为保守场。(跟起始点有关,跟路径没关系)1.15求下列标量场的梯度:u=xyz+2x=u∇xaux∂∂+yauy∂∂+zauz∂∂=xa(yz+2x)+yaxz+zaxyu=42xy+2yz4xz−u∇=xaux∂∂+yauy∂∂+zauz∂∂=xa(8xy−4z)+ya(42x+2yz)+za(2y−4x)=u∇xaux∂∂+yauy∂∂+zauz∂∂=xa3x2+ya5z+za5y1.16求下列矢量场在给定点的散度A•∇=xAx∂∂+yAy∂∂+zAz∂∂=32x+32y+3(1,0,1)|−=6A•∇=2xy+z+6z=2(1,1,0)|1.17求下列矢量场的旋度:(1)A=axx2+ayy2+az3z2(2)A=axyz+ayxz+azxy解:A∇×=0A∇×=xa(xx)+(yy)+−ya−za(z−z)=01.18现有三个矢量场A、B和C,已知:sincoscoscossinrAaaaθϕθϕθϕ=+−ϕ22sincos2sinBaaazzzzρϕϕϕρ=++ϕzz22(32)32Caaaxyyxx=−++(1)试问:哪些矢量场为无旋场?哪些矢量场为无散场?(2)试问:哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示?哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示?(3)求出它们的源分布。解:在球坐标系中()(sin)sinsin22111rAArAArrrrϕθθθθθϕ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂(sincos)(sincoscos)(sin)sinsin22111rrrrrθϕθθϕθθθϕ∂∂=++∂∂ϕ∂−∂cossincoscossincossinsin220rrrrϕθϕϕθϕθθ=+−−=aaa2sinsinsinrrrrrArArArAϕθθϕθθθϕθ∂∂∂∇×=∂∂∂sinsinsincoscoscossinsinaaa2rrrrrrrϕθθθθϕθϕθϕθ∂∂∂=∂∂∂−ϕ=0在圆柱坐标系中zBBBBz()11ϕρρρρρϕ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂(sin)(cos)(sin)22112zzrzzρϕϕρρρϕ∂∂∂=++∂∂∂ϕsinsinsin222zzϕϕρϕρρ=−+sin2ρϕ=zzaaazBzBBBρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇×=∂∂∂sincossinaaa222zzzzzzρϕρρϕϕρϕρϕ∂∂∂=∂∂∂=0故矢量B是无旋场,可以由一个标量函数的梯度表示在直角坐标系中yxzCCCCxyz∂∂∂∇⋅=++∂∂∂yxxzxyz∂∂022(32)(3)(2)∂∂=−++∂∂=xyzzxyaaaCxyzCCC∂∂∇×=∂∂∂∂aaaxyzxyzyxx223232∂∂=∂∂−z∂∂azxy(66)=−故矢量C是无散场,可以由一个矢量函数的旋度表示这些矢量的源分布为:A无源B为标量源2sinρφC为矢量源66a(-z)xy1.25在直角坐标中,证明:(1)一个矢量场的旋度的散度恒等于零,即▽·(▽×A)≡0;(2)一个标量场的梯度的旋度恒等于零,即▽×(▽ψ)≡0。证明:(1)aaaxyzxyzrotAAxyzAAA∂∂∂=∇×=∂∂∂()()(aaazyxzyxxyzAAAAAA)yzzxxy∂∂∂∂∂∂=−+−+−∂∂∂∂∂∂A∴∇⋅∇×.aaaaayyxxzzxyzxyzAAAAAAaxyzyzzxxy⎧∂∂⎡⎤⎡⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎡⎤=++−+−+−⎨⎬⎜⎟⎢⎥⎢⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎝⎠⎣⎦⎣⎩⎭⎫⎤⎥⎦yyxxzzAAAAAAxyzyzxzxy∂∂⎡⎤⎡∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤=−+−+−⎢⎥⎢⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎦222222yyxxzzAAAAAAxyxzyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=−+−+−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂0=0=×∇⋅∇∴A(2)aaaxyzxyz∵ψψψψ∇∂∂∂=++∂∂∂aaaaaaxyzxyz⎞⎟⎠xyzxyzψψψψ∴∇×∇⎛⎞⎛∂∂∂∂∂∂=++×++⎜⎟⎜∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝aaaxyzxyzxyzψψψ∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222aaaxyzyzyzxzxzxyxyψψψψψψ0⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂=−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠=
本文标题:电磁场与电池波第一章-习题解答-2015-2016(1)
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