高等数学笔记

第1章函数§1函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,ab，则称实数集{x|axb}为一个开区间，记为(a,b)即(a,b)={x|axb}a称为(a,b)的左端点，b称为(a,b)的右端点。a∉(a,b),b∉(a,b)闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}a∈[a,b],b∈[a,b]文章来源：半开区间：[a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b∉[a,b)(a,b]={x|ax≤b},a∈(a,b],b∉(a,b]a，b都是确定的实数，称(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]为有限区间，“b−a”称为区间长度。记号：+∞——正无穷大−∞——负无穷大区间：[a,+∞)={x|a≤x}(a,+∞)={x|ax}(−∞,b]={x|x≤b}(−∞,b)={x|xb}称为无穷区间（或无限区间）文章来源：邻域：设有两个实数a,δ(δ0)，则称实数集{x|a−δxa+δ}为点a的δ邻域，记为N(a,δ)a称为N(a,δ)的中心，δ0称为邻域N(a,δ)的半径。去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0|x−a|δ}=N(a,δ)∖{a}注：其中，∖{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。二、函数概念例1.设圆的半径为x(x0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为∀x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。文章来源：例2.设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长Sn=n⋅2rsinπn，当边数n在自然数集N(n≥3)任取一个数，通过关系式Sn=2nrsinπn就有一个Sn对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对∀x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→fy，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为Df。X——自变量，Y——因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集Vf={y|y=f(x),x∈X}，称Vf为函数f的值域。文章来源：注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+22，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=lnx2与y=2lnx不是同一个函数，因为定义域不同。而y=lnx2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为Df，∀x∈Df，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取Df中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈Df}。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源：三、函数的几个简单性质1.函数的有界性若∃M0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。例如，y=sinx在I=(−∞,+∞))上是有界的（∵|sinx|≤1,x∈(−∞,+∞)）。又如，y=1x2+1在(−∞,+∞)上有界。对任何正数M0（无论多么大），总∃x1∈I,s.t.|f(x1)|M，则称f(x)在I上无界。例如，y=1x在(0,1)内无界。证明：对给定的M0（不妨设M1），无论M多么大，必存在x1=12M∈(0,1)，使f(x1)=112M=2MM函数的上界、下界：若∃M（不局限于正数），s.t.f(x)≤M,∀x∈I，则称f(x)在区间I上有界。任何一个数NM，N也是f(x)的一个上界。若∃P,s.t.f(x)≥P,∀x∈I，则称f(x)在区间I上有下界。若QP，则Q也是一个下界。f(x)在区间I上有界⇔f(x)在I上既有下界又有上界（“⇔”表示充分必要条件）。证明：设f(x)在I上有界，根据定义，∃M0,s.t.|f(x)|≤M,∀x∈I。|f(x)|≤M⇔−M≤f(x)≤M因此f(x)有下界−M，也有上界M（对∀x∈I）反之，设f(x)在I上既有下界m，又有上界N，即m≤f(x)≤N如果m=N=0，则f(x)≡0,∀x∈I∴f(x)在I上有界。如果m,N不同时为零，取M=max{|m|,|N|}0，则−M≤−|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M即−M≤f(x)≤M⇒|f(x)|≤M,∀x∈I∴f(x)在I上有界。2.函数的单调性若函数f(x)在区间I上，对任何x1,x2∈I，且x1x2，恒有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上是严格单调增的。若x1x2，恒有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在区间I上广义单调增（或直接称为单调增，或称非减的）。若x1x2，恒有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上严格单调减。类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。文章来源：例如，y=x2,Df=(−∞,+∞)在(0,+∞)上，y=x2严格单增。在(−∞,0)上，y=x2严格单减。又如，取整函数（取一个数的整数部分）：y=[x]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−1,−1≤x00,0≤x11,1≤x22,2≤x3......其函数图形如下：取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。文章来源：函数的奇偶性若f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(−x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。若满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为奇函数。偶函数图形关于y轴对称（例如：cosx,x2）奇函数图形关于原点对称（例如：sinx,x3）4.函数的周期性设f(x)的定义域为Df，如果存在非零的常数T,s.t.对任意的x∈Df，有(x±T)∈Df，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期（通常周期是指最小正周期）。文章来源：四、复合函数，反函数1.复合函数设y=u√,u=1−x2，把u=1−x2代入y=u√中，得到y=1−x2−−−−−√，称为由y=u√与u=1−x2复合而成的复合函数。一般定义：设y=f(u)是数集Y上的函数（Y是f(u)的定义域），u=φ(x)的定义域为X，值域为Yφ，且Yφ≠Φ（Φ表示空集），Yφ⊆Y（表示Yφ是Y的子集），这时，对∀x∈X，通过u都有唯一的y值与之对应，从而在X上产生一个新函数，用f⋅φ（中间是一个实心的点）表示，称f∘φ（中间是一个空心的圈）为X上的复合函数：f→f⋅φy，或y=f[φ(x)]y=f[φ(x)]的定义域：由u=φ(x)的定义域中使函数u=φ(x)的值域Yφ满足Yφ⊆Y的那一部分实数组成。1.复合函数y=f(u),u=φ(x)⇒y=f[φ(x)]注意：f[φ(x)]与φ(x)定义域不一定相同。例1.设f(x)=x2+1x2−1,φ(x)=11+x，求f[φ(x)]并确定定义域。解：f[φ(x)]=[φ(x)]2+1[φ(x)]2−1=[11+x]2+1[11+x]2−1=−x2+2x+2x(x+2)当x≠−1（由11+x可知）且x≠0,x≠−2时f[φ(x)]有定义。即f[φ(x)]定义域为：(−∞,−2)∪(−2,−1)∪(−1,0)∪(0,+∞)2.反函数设有函数y=f(x)，定义域Df，值域Vf。∀y∈Vf，至少可以确定一个x∈Df,s.t.f(x)=y，如果把y看作自变量，把x看作因变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为x=f−1(y)，称为y=f(x)的反函数。反函数的定义域为Vf，值域为Df，把y=f(x)称为直接函数，x=f−1(y)称为反函数。注意：1.虽然直接函数y=f(x)是单值的，但反函数x=f−1(y)不一定是单值的。例如，函数y=x2,Df:(−∞,+∞),Vf:[0,+∞]反函数x=f−1(y)不是单值的（因为对∀y∈[0,+∞]，得到x=±y√，有两个值−y√,+y√，为双值函数）。x=y√是一个单值支。2.如果直接函数y=f(x)严格单调，则其反函数x=f−1(y)也是单值单调的。3.直接函数y=f(x)与反函数x=f−1(y)图形相同，习惯上以x表示自变量，y表示因变量，反函数记为y=f−1(x)。这时，y=f(x)与y=f−1(x)的图形关于直线y=x对称，如下图所示：例1.设y=f(x)={x2,−2x1x2,1≤x≤2，求反函数y=f−1(x)解：当−2x1时，y=x2,−1y12⇒x=2y，定义域−1y12当1≤x≤2时，y=x2,−1≤y≤4⇒x=+y√（因为x是正数），定义域−1≤y≤4综上所述，反函数为：x=f−1(y)={2y,−1y12y√,−1≤y≤4或：y=f−1(x)={2x,−1x12x√,−1≤x≤4文章来源：ξ2初等函数一、基本初等函数6类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数（例如y=C）称为基本初等函数。二、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数。例如：y=arcsin1−x2−−−−−√,y=ln(x+ex)文章来源：初等函数结构分析例如：分析y=ln(1+x√)的结构解：y=lnu,u=1+x√=1+x12令u=1+x12,v=1,w=x12∴y=lnu,u=v+w,v=1,w=x12三、双曲函数双曲正弦函数shx=ex−e−x2双曲余弦函数chx=ex+e−x2双曲正切函数thx=shxchx=ex−e−xex+e−x以上函数与三角函数有类似性质：ch2x−sh2x=1sh2x=2shxchx类似于sin2x=2sinxcosxch2x=ch2x+sh2x三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。文章来源：反双曲正弦函数：arshx注意：不是arc反双曲余弦函数：archx反双曲正切函数：arthx求双曲函数的反函数的表达式：令y=arshx⇒x=shy=ey−e−y2令u=ey⇒2x=u−1u⇒u2−2xu−1=0由二次方程的求根公式，得：u=2x±4x2+4√2=x±x2+1−−−−−√即ey=x±x2+1−−−−−√∵ey0∴ey=x+x2+1−−−−−√∴y=ln(x+x2+1−−−−−√)即arshx=ln(x+x2+1−−−−−√)用类似方法可推出：arshx=ln(x+x2+1−−−−−√)archx=ln(x+x2−1−−−−−√)arthx=12ln(1+x1−x)文章来源：第2章极限主要内容：一、极限概念：数列概念、函数概念二、极限性质和运算，无穷小概念和比较三、函数的连续性ξ1数列的极限一、数列极限定义数列：设有定义在自然数集N上的函数un=f(n)，称为整标函数（标是指下标n）。把函数值un按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串：u1,u2,u3,⋯,un,⋯叫作数列（序列），第n项un称为一般项。