小学五年级奥数举一反三第13讲--长方体和正方体(一)

五年级奥数举一反三第13讲长方体和正方体（一）邯郸市峰峰矿区杨桂林知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。王牌例题1：一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？举一反三11.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？王牌例题2：有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。举一反三21.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？【思路导航】当长方体切下一个小正方体后，表面积其实只减少了周围的4个小正方形的面积，每块正方形的面积是24÷4=6（平方厘米）。正方体有6个这样的面，所以切下的小正方体的表面积是6×6=36（平方厘米）。24÷4×6=36（平方厘米）王牌例题3：一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减少24平方厘米，求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？举一反三31.一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？2.一根长1米，宽和高都是8厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？3.把两个完全相同的长方体木块拼成一个正方体，表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了40平方厘米，求原来每个长方体的面积是多少平方厘米？王牌例题4：长方体的不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米、6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长宽、长高、宽高得来的。因此15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30×30。所以，这个长方体的体积是30立方厘米。答：这个长方体的体积是30立方厘米。举一反三41，一个长方体，不同的三个面的面积分别为25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？2，一个长方体，不同的三个面的面积分别为35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？3，一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高的数值都是质数（单位：厘米）。这个长方体的体积和表面积各是多少？王牌例题5：把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，𝑎=4h，即h=14𝑎，2𝑎=3b，即b=23𝑎，砖的体积是𝑎×b×h=𝑎×23𝑎×12𝑎=16𝑎2=288(立方厘米)。𝑎=12，b=23×12=8，h=14×12=3。大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。举一反三51，一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2，有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。3，用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体，已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高，这个长方体的长和宽各是多少厘米？