离散型随机变量的均值与方差习题课及高考题

离散型随机变量的均值与方差三年22考高考指数:★★★★1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.离散型随机变量的均值是高考考查的重点；2.数形结合、分类讨论是解决均值与方差问题的重要思想方法；3.题型以解答题为主，常与分布列等知识综合考查.1.离散型随机变量的均值与方差(1)离散型随机变量X的分布列Xx1x2…xi…xnP……p1p2pipn(2)离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式作用标准差反映了离散型随机变量取值的________刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________方差的算术平方根为随机变量X的标准差EX____________________________（）1122iixpxpxpnnxpDX__________________（）n2iii1xEXp（）平均水平平均偏离程度DX（）【即时应用】(1)思考：随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数.样本的均值、方差是一个变量.随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.(2)随机变量X的分布列如表，则X的数学期望是______.【解析】由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：2.1X123P0.20.5m(3)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝______.【解析】X的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝∴E(X)＝答案：312316C11C28＝；21124316CC33C70＝；12124316CC9C70＝；34316C11C40＝，113391130123.287070404＋＋＋＝34(4)甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量X、Y，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是______.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(X)E(Y)，故乙的技术较好.答案：乙2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=_________，(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)aE(X)+ba2D(X)【即时应用】(1)已知分布列为：且设Y＝2X＋3，则Y的均值是______.(2)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若取到一件次品得2分，用Y表示得分数，则D(Y)＝______.X-101Pa1213【解析】(1)由分布列性质有＋a＝1，即a＝E(X)＝∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝(2)设X表示取到的次品数，则Y＝2X.由题意知取到次品的概率为∴X～B(3，)，D(X)＝故D(Y)＝D(2X)＝4D(X)＝答案：(1)(2)1123＋1.611111012363－＋＋＝－，273.33－＝1.4141193(1).4416－＝994.164＝73943.两点分布与二项分布的均值、方差均值方差随机变量X服从两点分布X～B(n,p)E（X）=____D（X）=______E(X)=____D(X)=_______pp(1-p)npnp(1-p)【即时应用】(1)设15000件产品中有1000件次品，有放回地从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为______.(2)设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝则n的值为______,p的值为______.454，【解析】(1)设查得次品数为随机变量ξ，由题意得ξ～B(150，)，所以E(ξ)=150×=10.(2)由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝∴p＝n＝60.答案：(1)10(2)60115115454，14，14离散型随机变量的均值与方差【方法点睛】求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)；(5)由方差的定义求D(ξ).【例1】(2011・福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)=6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：(1)产品的“性价比”=(2)“性价比”大的产品更具可购买性.品的等系的期望；品的零售价产级数数学产【解题指南】(1)利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有概率和为1，联立关于a,b的方程组，解方程组求得a,b的值；(2)根据题中提供的数据，列等级系数X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；(3)根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【规范解答】(1)因为E(X1)＝6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由解得6a7b3.2ab0.5，a0.3.b0.2(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为=1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为=1.2.所以乙厂的产品更具可购买性.664.84【反思・感悟】求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随机变量的分布列.求离散型随机变量的分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求概率时，要注意概率类型的确定与转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.与二项分布有关的期望与方差【方法点睛】与二项分布有关的期望与方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从ξ～B(n,p)，则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同样还可求出D(aξ+b).【提醒】E(aξ+b)=aE(ξ)+b，但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b，D(aξ+b)≠aD(ξ).【例2】(1)某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每一道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是若回答错误的题数为ξ，则E(ξ)=______，D(ξ)=______.(2)罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设ξ为取得红球的次数，则E(ξ)=______.【解题指南】两题中的ξ都服从二项分布，故可直接套用公式求解.34，【规范解答】(1)∵回答正确的概率是∴回答错误的概率是故ξ～B(4，)，∴E(ξ)=4×＝1，D(ξ)=(2)因为是有放回的摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率为连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B(4，)，所以E(ξ)=答案：(1)1(2)34，31144，14141134(1).44435，353124.55＝34125【反思・感悟】ξ是随机变量,则η=f(ξ)一般也是随机变量,在求η的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算.均值与方差的实际应用【方法点睛】均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.D(X)(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【例3】(2012・深圳模拟)甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱子，乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定：所取两球同色时甲胜，异色时乙胜(a,b,x,y∈N*).(1)当x=y=3,a=3,b=2时，求甲获胜的概率；(2)当x+y=6,a=b=3时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分，求甲的得分期望达到最大时的x,y值；(3)当x=a，y=b时，这个游戏规则公平吗？请说明理由.【解题指南】(1)甲胜即两人同时取到红球或同时取到黑球.(2)明确随机变量的取值为0，1，3，并求出各自的概率.(3)是否公平看两人获胜的概率是否相等.【规范解答】(1)由题意，甲、乙都取到红球的概率甲、乙都取黑球的概率∴甲获胜的概率113311165CC3P,CC10113221165CC1P,CC512311PPP.1052(2)令ξ表示甲的分数，则ξ的取值为0，1，3，P(ξ=1)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=得ξ的分布列如下：于是E(ξ)=又x,y∈N*且x+y=6，∴1≤x≤5,且E(ξ)=故当x=5，y=1时，E(ξ)的最大值为1111y3x311116666CCCCyx,P3CC12CC12，xy112，ξ013Pxyyx3xy0(1)1312121212；xy112y12x1262x124.3(3)由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，则211xyabCCxy・111122xayb211xyab1111xbya211xyab222222CCCCxyPA,CCxyCCCC2xyPB,CCxyxyxy2xyPAPB,xyxyxy当x=y时，P(A)=P(B),甲、乙获胜的概率相等，这个游戏规则是公平的；当x≠y时，P(A)P(B)，甲获胜的概率大于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平，有利于甲.【反思・感悟】解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率.对于实际问题要通过分析题意抽象出具体的数学模型来求解.【满分指导】离散型随机变量均值解答题的规范解答【典例】(12分)(2011・天津高考)学