三角函数公式总结、推导及应用

三角函数公式、性质及应用（一）知识点1、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr．2、角三角函数的基本关系：221sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan3、函数的诱导公式：1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．4、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．②数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴函数性质三角函数公式、性质及应用6、周期问题T,0,0A,tan2T,0,0A,2T,0,0A,xAyxACosyxASiny7、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．8、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1⑵2222cos2cossin2cos112sin升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2，21cos2sin2．⑶22tantan21tan．9、利用两角和或差公式化一角一函数BxAy)sin(形式。)sin(cossin22baba,其中abtan（或)cos(cossin22baba，其中batan）（二）应用【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。（参考数据：yx▲SIN\COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx＝1.41421…，3＝1.73205…）分析：此题可先通过解Rt△ABD求出塔高AB，再利用CE＝BD＝80米，解Rt△AEC求出AE，最后求出CD＝BE＝AB－AE。解：在Rt△ABD中，BD＝80米，∠BAD＝600∴AB＝56.13838060tan0BD（米）在Rt△AEC中，EC＝BD＝80米，∠ACE＝450∴AE＝CE＝80米∴CD＝BE＝AB－AE＝56.5880380（米）答：塔AB的高约为138.56米，楼CD的高约为58.56米。【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030，045，求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）分析：要求AB，只须求出OA即可。可通过解Rt△POA达到目的。解：在Rt△PAO中，∠PAO＝030∴OA＝345030cot450cot0PAOPO（米）在Rt△PBO中，∠PBO＝045∴OB＝OP＝450（米）∴AB＝OA－OB＝3294503450（米）答：这座大桥的长度约为329米。评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论。解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D∵CDAD030cot，CDBC060cot∴030cotCDAD，060cotCDBD∴20)60cot30(cot00CDBDAD∴31033320CD045060例1图FEDCBA例2图ABOP三角函数公式、性质及应用∵310＞10∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。030060例3图南北北南西东CDBA例4图FEDCBA【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB。分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，在Rt△ADE和Rt△BCF中∵21168sinADDEA∴∠A＝300又∵388162222DEADAE，31BFCFi∴BF＝3CF＝3×8＝24∴AB＝AE＋EF＋BF＝24338＝3827（米）答：斜坡AB的坡角∠A＝300，坝底宽AB为)3827(米。评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值tani），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）分析：此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解。解：过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：23323360sin0CDDF41215.060cos0ADAH于是A点离地面的高度为42.141233（米）答：车厢的最高点A离地面约为4米。【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。问题二图10.50.51.51.5问题二图2长廊房间31.45略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作DH⊥AB于H，则245sin2sin0HEDDEDH∵5.12∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。设计方案图长廊房间31.45设计方案说理图HEDCBA跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度i是（）A、1∶3B、1∶2.6C、1∶2.4D、1∶22、如图，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、27海里B、214海里C、7海里D、14海里问题一图HGFDCBA三角函数公式、性质及应用第1题图CBA015060第2题图北东北MBA045030第3题图CDBA3、如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD＝100米，点C在BD上，则山高AB＝（）A、100米B、350米C、250米D、)13(50米4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、a450元B、a225元C、a150元D、a300元0120选择第4题图30m20m2:1i填空第1题图CDBA6m10m填空第2题图CDBA二、填空题：1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB＝米。2、小明想测量电线杆AB的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米（结果保留两位有效数字，2＝1.41，3＝1.73）三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，求河宽CD（结果可带根号）。第1题图CDBA030015750300第2题图DBA第3题图CBA2、如图：在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是