数列求和常见方法总结

数列求和的几种常用方法n：即直接用求和公式，求数列的前一公式法n和S：①等差数列的前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad②等比数列的前n项和公式：111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq2222123（3）:n1(1)(21)6nnn3333(4):123n2(1)2nn二：倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．xx4122016已知f(x)=,求f()+f....f2017201720174：2练习xx4122016已知f(x)=,求f()+f....f2017201720174：2练习三．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.练习：设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝。练习：设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝。解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①∴2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝21－2n1－2－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1∴Sn＝(n－1)·2n+1＋2四：分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.项的特征：cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）n:求数列n+2练习的前n项和。n:求数列n+2练习的前n项和。解：=(1+2+3+…+n)=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+)2232ｎ2+(2+2+2+…+2)n23=(1+2+3+…+n)+(2+2+2+…+2)n23五：列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）1{}(1)练求习：数列的前n项和nn1111223(1)nSnnnnn+1n+1nnn+1nn+1c特别的对于，其中a是各项均不为0的等差数列，通常用aacc11列项相消法，即利用=-(其中:d=a-a)aadaa常见的拆项公式有：11111.()()nnkknnk112.()ababab11113.[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn14.11nnnn111练习求和11447710(32)(：31)nn1111（-）(32)(31)3(32)提示：(31)nnnn1111447(32)(31)111111[(1)()()]3447323111(1)33131nnnnnnn以题试法(2)设数列{an2n－1}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，①故S1＝1，Sn2＝a12＋a24＋…＋an2n，②所以，当n＞1时，①－②得Sn2＝a1＋a2－a12＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－12＋14＋…＋12n－1－2－n2n＝1－1－12n－1－2－n2n＝n2n.所以Sn＝n2n－1.综上，数列{an2n－1}的前n项和Sn＝n2n－1.解答：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.n268nnn-1（2017，辽宁高考）已知等差数列满足=0，+=-10（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。2练习：(12分)(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)an＝3－(n－1)＝4－n(2)由(1)可得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1(7分)＝nqn－qn－1q－1＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－1.于是，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.(9分)若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.所以，Sn＝nn＋12q＝1，nqn＋1－n＋1qn＋1q－12q≠1.在本例条件不变情况下，求数列{2n－1·an}的前n项和Sn.n268nnn-1（2017，辽宁高考）已知等差数列满足=0，+=-10（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。2练习：解：Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an①2Sn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan②①－②得－Sn＝a1＋2(a2－a1)＋22(a3－a2)＋…＋2n－1(an－an－1)－2nan＝1－(2＋22＋…＋2n－1)－2n(2－n)＝1－21－2n－11－2－2n＋1＋n·2n＝1＋2－2n－2n＋1＋n·2n＝(n－3)2n－3，∴Sn＝3－(n－3)·2n.练习：(2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1bn}的前n项和．解：(1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.练习：(2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1bn}的前n项和．练习．(2011·北京)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21.Sn＝19n＋nn－12·(－2)＝－n2＋20n.(2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－12.练习：(2012·西南大学)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*.(1)求证：数列{bn＋1}为等比数列；(2)令Cn＝2nan·an＋1，Tn是数列{Cn}的前n项和，求使Tn20112012成立的最小的n值．解：(1)证明：由题意得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可知，bn＋1＝2n－1，∴an＝2bn＋1＝2n－1.故Cn＝2nan·an＋1＝2n2n－12n＋1－1＝12n－1－12n＋1－1.∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝(1－13)＋(13－17)＋…＋(12n－1－12n＋1－1)＝1－12n＋1－1.由Tn20112012，得2n＋12013，解得n≥10.∴满足条件的n的最小值为10.练习：(2012·西南大学)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*.(2)令Cn＝2nan·an＋1，Tn是数列{Cn}的前n项和，求使Tn20112012成立的最小的n值．