优化设计的基本术语和数学模型分析

例1：已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；x1x2x32优化设计的基本术语和数学模型2.1引言数学模型：123,,xxx122313min2()Sxxxxxx123123500100xxxxxx设计参数：设计目标：约束条件：x1x2x3某工厂生产A和B两种产品，A产品单位利润为PA万元，B产品单位利润为PB万元。每生产一个A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使利润最大。分析：（1）利润的表达式；（2）设计参数确定：A产品xA，B产品xB；（3）设计约束条件：（a）煤约束；（b）电约束；（b）劳动力约束；例2：生产资源分配问题数学模型,ABxxmaxAABBPPxPxCACBEAEBLALBaxbxCaxbxEaxbxL设计参数：设计目标：约束条件：由以上两个实例可见，一个优化设计问题应包括：(1)有描述设计方案的一组设计变量；(2)有一个或几个目标函数(或准则函数)，且是设计变量的标量函数；(3)明确一组表示可接受设计方案的约束条件，且也是全部或几个设计变量的标量函数；(4)能求出一组设计变量的值，在满足全部约束条件下，使目标函数达到最小(或最大)值。一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。设计变量——在优化设计中，可以进行调整和优选的独立参数.2.2优化设计的基本术语2.2.1设计变量设计变量的全体实际上是一组变量，用一个列向量表示1212[,,,]Tnnxxxxxxx由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。12,,,nxxx1212[,,,]Tnnxxxxxxx设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。设计空间小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。设计空间的维数2.约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束()0hx()0gx可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的设计点所构成的空间。例：满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16≤O和g2（X）＝2—X2≤0的二维设计问题的可行域D。可行域:约束条件:g1（X）=x12＋x22—16≤Og2（X）＝2—X2≤0图1-3约束条件规定的可行域D3.目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。单目标函数多目标函数12()()nFxFxxx，，，为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。2.3优化设计的数学模型及其分类2.3.1数学模型的标准格式有约束优化设计模型无约束优化设计模型2.3.2数学模型的分类连续变量优化设计模型离散变量优化设计模型非线性优化线性优化单目标优化多目标优化本课程中，所有的优化设计问题都是求目标函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过转化变成极小值问题。与此同时，所有的不等式约束都采用的形式。0)(Xg2212111222123142min()44s.t.()20()10()0()0Fxxxgxxgxxgxgxxxxxx例1：如下二维非线性规划问题通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。2.4优化设计模型的几何解释2212111222123142min()44s.t.()20()10()0()0Fxxxgxxgxxgxgxxxxxx目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：*(2,0)x，*()0Fx约束方程所围成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=[0.58,1.34]Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0求解优化问题的基本解法有：图解法解析法数值解法解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为，对应的最优值为(见图）*3,2TX2fXx2x12f1fO用图解法求解例：解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。05..})1()2min{(212221xxtsxx2.5稳健优化设计模型2.5.1基本概念当设计变量和设计常数在工程实施中发生变差时，能保证设计解是可行的，同时对目标函数值的影响是不敏感的；或者说．即使在设计变量和设计常数发生变差的情况下，仍能保证优化设汁解是可行的，且对目标函数值的影响亦是极其微小的，或者其变化大小是工程可以接受的，能实现这个目的的一种优化设计技术称之为稳健优化设计。ROBUST2.6优化计算方法概述