立体几何轨迹与截面问题

实用文档标准文案轨迹与截面（二）1．如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸是𝐴𝐴1的中点，𝑃为底面𝐴𝐵𝐶𝐷内一动点，设𝑃𝐷1,𝑃𝐸与底面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角分别为𝜃1,𝜃2(𝜃1,𝜃2均不为0).若𝜃1=𝜃2，则动点𝑃的轨迹为（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分2．正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1棱长为4，𝑀,𝑁,𝑃分别是棱𝐴1𝐷1,𝐴1𝐴,𝐷1𝐶1的中点，则过𝑀,𝑁,𝑃三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A.2√3B.4√3C.6√3D.12√33．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和，则||MN（）A．1B．3C．2D．54．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．实用文档标准文案5．如图，记长方体1111ABCDABCD被平行于棱11CB的平面EFGH截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确．．．的是（）A．EH∥FGB．四边形EFGH是平行四边形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台6．如图，在正方体1111ABCDABCD中，P是侧面11BBCC内一动点，若P到直线BC与直线11CD的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）D1C1A1B1PDCABA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为棱11AB中点，点Q在侧面11DCCD内运动，若1PBQPBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8．如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．①②B．②③C．③④D．①⑤实用文档标准文案9．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A．56B．23C．D．7610．（2015秋•河南期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．11．（2015•西城区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．112．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．23B．332C．2D．313．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为m4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为m34，则圆锥底面圆的半径等于（）BDCAEBCD'ADEK实用文档标准文案A．m1B．m23C．m34D．m2实用文档标准文案参考答案1．B【解析】由线面角的定义及题意可得sin𝜃1=sin𝜃2⇔𝐷𝐷1𝑃𝐷1=12𝐴𝐴1𝑃𝐸，即𝑃𝐷1=2𝑃𝐸，以线段𝐷1𝐸为𝑥轴，其中垂线为𝑦轴，如图，建立平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦，设𝐴𝐴1=2,𝑃(𝑥,𝑦)，则𝐷1𝐸=√5,𝐸(−√52,0),𝐷1(√52,0)，所以(𝑥−√52)2+𝑦2=4(𝑥+√52)2+4𝑦2，即3𝑥2+3𝑦2+5√5𝑥+3(√52)2=0，则动点𝑃的轨迹是圆，故应选答案B。点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用。2．D【解析】过𝑀,𝑁,𝑃三点的平面截正方体所得截面为一个正六边形,其余三个顶点分别为的𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐶1中点,边长为2√2,所以面积为6×√34(2√2)2=12√3,选D.3．D【解析】试题分析：因由球心距与截面圆的半径之间的关系得538212221222221ddRdRd，故52221ddMN，应选D。考点：球的几何性质及运算。4．A【解析】试题分析：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N实用文档标准文案而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系5．D【解析】试题分析：因为EH∥11AD，11AD∥11BC，所以EH∥11BC，又EH⊄平面11BCCB，平面EFGH∩平面11BCCB=FG，所以EH∥平面11BCCB，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面11BCCB=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥11BC，所以选项A、C正确；因为11AD⊥平面11ABBA，EH∥11AD，所以EH⊥平面11ABBA，又EF⊂平面11ABBA，故EH⊥EF，所以选项B也正确考点：线面垂直的判定；线面平行的判定6．D.【解析】如下图所示，连结1PC，过P作PHBC于H，∵11CD面11BBCC，1PC面11BBCC，∴111PCCD，∴1PCPH，故点P的轨迹为以1C为焦点，BC所在直线为准线的抛物线，故选D.【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.7．C【解析】易得//BP平面11CCDD，所有满足1PBDPBX的所有点X在以BP为轴线，以1BD所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面11CCDD的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C.【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.8．D实用文档标准文案【解析】试题分析：根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案解：当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件；故截面图形可能是（1）（5），故选：D．考点：平面的基本性质及推论．9．A【解析】试题分析：图中弧EF为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为16AAEBAF，所以6EAF，由弧长公式知弧EF的长为263，弧FG为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧，其圆心为B，因为球心到平面的距离3d，球半径2R，所以小圆半径221rRd，又2GBF，所以弧FG的长为122，两段弧长之和为56，故选A．考点：1、球的截面性质；2、弧长公式．10．A【解析】试题分析：点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C．解：由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°∴，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO中，，在，∴，在故选A．考点：空间两点间的距离公式．11．C【解析】试题分析：画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，实用文档标准文案Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．考点：点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题．12．D【解析】试题分析：由题意得，DKAE，所以K的轨迹是以AD为直径的一段圆弧DK，设AD的中点为O，因为长方形ABCD中，3,1ABBC，所以60DAC，所以21203DOK，所以K所形成的轨迹的长度为21323，故选D．考点：轨迹方程的求解．【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据AED沿AE翻折，使得D在平面ABC上的射影为K在直线AE上，利用DKAE，从而可得K所形成的轨迹是以AD为直径的一段圆弧DK，求出圆心角DOK，利用弧长公式求解弧长．13．C【解析】试题分析：作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为PP，由余弦定理可得212cos222POOPPPPOOPOPP，∴32OPP．设底面圆的半径为r，则有4322r，∴34r．故C项正确．实用文档标准文案考点：圆锥的计算，平面展开——最值问题．【方法点晴】本题主要考查了圆锥的计算及有关圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个三角形，此扇形的弧长等于圆锥的面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．