《二次函数的图象与一元二次方程(2)》教学设计-学习文档

第1页5.6二次函数的图象与一元二次方程（2）教学目标1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力；2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；3．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．教学重点1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学过程（教师）学生活动设计思路情境创设回忆：函数322xxy的图像如图1所示，你能看出方程0322xx的解吗？创设：函数122xxy的图像如图2所示，你能看出方程0122xx的解吗？学生思考并讲解方法．借助上节课的知识，学生较容易回答出“回忆”部分的答案为：x1＝1，x2＝3，当遇到“创设”问题时学生较难回答出，只能估计值的范围．通过回忆，复习二次函数的图象与一元二次方程根之间的关系，而紧接着的“创设”会让学生陷入沉思，进而激发兴趣，寻求解决的办法．图1图2第2页探究活动从图象上来看，二次函数122xxy的图象与x轴交点的横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间，所以方程0122xx的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图象的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．比如：再进一步取值：则x≈－0.4以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！再进一步取值：以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．（注：以上二分法的相关内容根据情况适当选用）学生思考并讲解方法，必要时让学生板演并讲解，教师点拨．有关估算问题我们在前面已学习过了，即用试一试的方法进行的．既然一个根在－1与0之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－0.1，－0.2，…，－0.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个值就是方程的根（或近似根）．如：利用计算器进行探索x－0.1－0.2－0.3－0.4－0.5y－0.79－0.6－0.31－0.040.25从表格中可以看出，－0.4与－0.5所对的值由负变正，所以可以确定该根应在－0.4与－0.5之间，又从－0.04与0.25的值来看，－0.04更接近于0，所以我们判断x≈－0.4．我们可以继续取值来缩小它的范围：x－0.41－0.42y－0.01190.0164当我们算到－0.42时，也没有必要继续算下去了，因为它的值已经由负变正了，所以可以确定这个根一定在－0.41与－0.42之间，即－0.41＜x＜－0.42，又从－0.0119与0.0164的值来看，－0.0119更接近于0，所以我们判断x≈－0.41．我们还可以继续取值来缩小它的范围：x－0.411－0.412－0.413－0.414－0.415y-0.009079-0.006256-0.003431-0.0006040.002225从－0.000604与0.002225的值来看，－0.000604更接近于0，所以我们判断x≈－0.414．以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．我们可以用同样的方法去求方程的另一个根．利用计算器进行探索：x2.12.22.32.42.5y－0.79－0.56－0.31－0.040.25所以x≈2.4．我们可以继续取值来缩小它的范围：x2.412.42y－0.01190.0164所以x≈2.41．我们还可以继续取值来缩小它的范围：x2.4112.4122.4132.4142.415y-0.009079-0.006256-0.003431-0.0006040.002225所以x≈2.414．以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．通过引导学生正确观察图形，计算不同的值代入后越来越接近0的方法来感受根的寻找是采用逐步逼近的思想，方程根的取值范围的进一步缩小，让学生体会方程根的取值的进一步精确性．通过取另一个根的过程，巩固和强化寻找的过程和方法．另外，用不同的方法（二分法）去寻找根，让学生感受其寻找根的过程和方法的区别和优劣．可由学生独立思考后再小组交流，既留有学生独立思考的时间和空间，且培养了学生小组合作的意识和团队精神．第3页拓展延伸利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．现在我们应该利用什么函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？函数y＝x2＋2x－13的图象如右图所示：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．x－4.5－4.6－4.7－4.8－4.9y－1.75－1.04－0.310.441.21因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：x2.52.62.72.82.9y－1.75－1.04－0.310.441.21因此x＝2.7是方程的另一个近似根．以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根．也可以利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．选用不同的方法，让学生感受不同的处理方法所带来的特点．练习巩固（1）利用二次函数522xxy的图象，借助计算器探索方程0522xx根的近似值（精确到0.01）；（2）补充习题．学生板演并讲解，教师点拨．参考答案：45.31x，45.12x．通过练习，帮助学生巩固新知．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．如何确定方程根的近似值？学生思考，交流并汇报．小结能将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．作业布置1．（必做题）课本P49练习第2题；2．（选做题）思考（2019年江苏南京改编）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…50.1－0.20.1…（1）当y＜5时，x的取值范围是；（2）方程的两个根（）A．－1和0，0和1之间．B．0和1，1和2之间．C．1和2，2和3之间．D．2和3，3和4之间．课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．选做题参考答案：（1）0＜x＜4；（2）C．设置分层作业，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造不同的条件．