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1余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx的图像向平移个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为.问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为.问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中心;(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出y=cosx(x∈R)的简图,并根据图像写出:(1)y≥12时x的集合;(2)-12≤y≤32时x的集合.解:用“五点法”作出y=cosx的简图2(1)过0,12点作x轴的平行线,从图像中看出:在[-π,π]区间与余弦曲线交于-π3,12,π3,12点,在[-π,π]区间内,y≥12时,x的集合为x|-π3≤x≤π3.当x∈R时,若y≥12,则x的集合为x-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z(2)过0,-12,0,32点分别作x轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于-2π3+2kπ,-12,k∈Z,2π3+2kπ,-12,k∈Z点和-π6+2kπ,32,k∈Z,π6+2kπ,32),k∈Z点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求,即当-12≤y≤32时x的集合为:x-2π3+2kπ≤x≤-π6+2kπ或π6+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.规律方法:利用三角函数的图像或三角函数线,可解简单的三角函数不等式,但需注意解的完整性.跟踪演练1求函数f(x)=lgcosx+25-x2的定义域.解由题意,x满足不等式组cosx025-x2≥0,即-5≤x≤5cosx0,作出y=cosx的图像.结合图像可得:x∈-5,-32π∪-π2,π2∪32π,5.要点二:余弦函数单调性的应用例2求函数y=log(cos2x)的增区间.解:由题意得cos2x0且y=cos2x递减.∴x只须满足:2kπ2x2kπ+π2,k∈Z.∴kπxkπ+π4,k∈Z.∴y=log12(cos2x)的增区间为kπ,kπ+π4,k∈Z.3规律方法:用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.跟踪演练2:比较下列各组数的大小.(1)-sin46°与cos221°;(2)cos-235π与cos-174π.解:(1)-sin46°=-cos44°=cos136°,cos221°=-cos41°=cos139°.∵180°139°136°0°,∴cos139°cos136°,即-sin46°cos221°.(2)cos-235π=cos235π=cos4π+35π=cos35π,cos-174π=cos174π=cos4π+π4=cosπ4.∵0π435ππ,且y=cosx在[0,π]上递减,∴cos35πcosπ4,即cos-235πcos-174π要点三:余弦函数值域(最值)例3:求下列函数的值域.(1)y=-cos2x+cosx;(2)y=2-sinx2+sinx.解:(1)y=-cosx-122+14.∵-1≤cosx≤1,∴当cosx=12时,ymax=14.当cosx=-1时,ymin=-2.∴函数y=-cos2x+cosx的值域是-2,14.(2)y=4-+sinx2+sinx=42+sinx-1.∵-1≤sinx≤1,∴1≤2+sinx≤3,∴13≤12+sinx≤1,∴43≤42+sinx≤4,∴13≤42+sinx-1≤3,即13≤y≤3.4∴函数y=2-sinx2+sinx的值域为13,3.规律方法:求值域或最大值、最小值问题,一般依据为:①sinx,cosx的有界性;②sinx,cosx的单调性;③化为sinx=f(y)或cosx=f(y)利用|f(y)|≤1来确定;④通过换元转化为二次函数.跟踪演练3求函数y=cos2x+4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.(提示:sin2α+cos2α=1)解:y=cos2x+4sinx=1-sin2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5.∴当sinx=1,即x=2kπ+π2,k∈Z时,ymax=4;当sinx=-1时,即x=2kπ-π2,k∈Z时,ymin=-4.所以ymax=4,此时x的取值集合是xx=2kπ+π2,k∈Z;ymin=-4,此时x的取值集合是xx=2kπ-π2,k∈Z.一、选择题1.函数y=cosx(0≤x≤π3)的值域是()A.[-1,1]B.[12,1]C.[0,12]D.[-1,0][答案]B[解析]∵函数y=cosx在[0,π3]上是减函数,∴函数的值域为[cosπ3,cos0],即[12,1].2.函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()A.2B.0C.-14D.6[答案]B[解析]y=cosx-322-14,当cosx=1时,y最小=0.3.函数y=cosx+|cosx|,x∈[0,2π]的大致图像为()5[答案]D[解析]y=cosx+|cosx|=2cosxx∈[0,π2]∪[3π2,2π]0x∈[π2,3π2],故选D.4.方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内()A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根[答案]C[解析]在同一坐标系中作函数y=|x|及函数y=cosx的图像,如图所示.发现有2个交点,所以方程|x|=cosx有2个根.5.已知函数f(x)=sin(πx-π2)-1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数[答案]B[解析]由f(x+2)=f(x)可知T=2,再f(x)=sin(πx-π2)-1=-cosπx-1,∴f(-x)=-cos(-πx)-1=-cosπx-1=f(x).66.函数y=cosx3+cosx的定义域是()A.RB.{x|x≠2kπ,k∈Z}C.{x|x≠2kπ+π,k∈Z}D.{x|x≠kπ2,k∈Z}[答案]A[解析]要使函数有意义,则需3+cosx0,又因为-1≤cosx≤1,显然3+cosx0,所以x∈R.二、填空题7.函数y=cosx在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是______________.[答案](-π,0][解析]∵y=cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,∴只有-πa≤0时,满足已知条件,∴a∈(-π,0].8.比较大小:cos-4710π________cos(-449π).[答案][解析]cos-4710π=cos-5π+310π=-cos310π,cos-449π=cos-5π+π9=-cosπ9,由y=cosx在[0,π]上是单调递减的,所以cos310πcosπ9,所以cos-4710cos-449π.三、解答题9.若函数f(x)=a-bsinx的最大值为32,最小值为-12,求函数y=1-acosbx的最值和周期.[解析](1)当b0时,若sinx=-1,f(x)max=32;若sinx=1,f(x)min=-12,即a+b=32,a-b=-12.解得a=12,b=1.此时b=10符合题意,所以y=1-12cosx.(2)当b=0时,f(x)=a,这与f(x)有最大值32,最小值-12矛盾,故b=0不成立.7(3)当b0时,显然有a-b=32,a+b=-12.解得a=12,b=-1,符合题意.所以y=1-12cos(-x)=1-12cosx.综上可知,函数y=1-12cosx的最大值为32,最小值为12,周期为2π.一、选择题1.将下列各式按大小顺序排列,其中正确的是()A.cos0cos12cos1cos30°cosπB.cos0cosπcos12cos30°cos1C.cos0cos12cos1cos30°cosπD.cos0cos12cos30°cos1cosπ[答案]D[解析]在[0,π2]上,012π61,又余弦函数在[0,π2]上是减少的,所以cos0cos12cosπ6cos10.又cosπ0,所以cos0cos12cosπ6cos1cosπ.2.函数f(x)=-xcosx的部分图像是()[答案]D[解析]由f(x)=-xcosx是奇函数,可排除A,C.令x=π4,则f(π4)=-π4cosπ4=-2π80.故答案选D.二、填空题3.若cosx=2m-13m+2,且x∈R,则m的取值范围是________.8[答案](-∞,-3]∪-15,+∞[解析]∵2m-13m+2=|cosx|≤1,∴|2m-1|≤|3m+2|.∴(2m-1)2≤(3m+2)2.∴m≤-3,或m≥-15.∴m∈(-∞,-3]∪-15,+∞.4.设f(x)的定义域为R,最小正周期为3π2.若f(x)=cosx-π2≤x0,sinxx,则f-154π=________.[答案]22[解析]∵T=3π2,∴kT=k·3π2(k∈Z)都是y=f(x)的周期,∴f-15π4=f-3π2+3π4=f3π4=sin3π4=sinπ4=22.三、解答题5.利用余弦函数的单调性,比较cos(-23π5)与cos(-17π4)的大小.[分析]利用诱导公式化为[0,π]上的余弦值,再比较大小.[解析]cos(-23π5)=cos23π5=cos3π5,cos(-17π4)=cos17π4=cosπ4.因为0π43π5π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cosπ4cos3π5,即cos(-23π5)cos(-17π4).6.求下列函数的定义域.(1)y=x;(2)y=1-2cosx+lg(2sinx-1).[解析](1)要使y=x有意义,需有cos(sinx)≥0,又∵-1≤sinx≤1,而y=cosx在[-1,1]上满足cosx0,∴x∈R.∴y=x的定义域为R.9(2)要使函数有意义,只要1-2cosx≥0,2sinx-10,即cosx≤12,sinx12.由下图可得cosx≤12的解集为{x|π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ,k∈Z}.sinx12的解集为{x|π6+2kπx5π6+2kπ,k∈Z}.它们的交集为{x|π3+2kπ≤x5π6+2kπ,k∈Z},即为函数的定义域.7.函数f(x)=12-a4+acosx-cos2x(0≤x≤π2)的最大值为2,求实数a的值.[解析]令t=cosx,由0≤x≤π2,知0≤cosx≤1,即t
本文标题:余弦函数的图像与性质-教学设计
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