菱形的判定和性质

1BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（二）菱形的性质：1、具有平行四边形的一切性质；2、菱形四条边都相等；3、菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、菱形是轴对称图形；边角对角线对称性菱形对边平行；四边相等对角相等；邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的四边形是菱形；（四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高）2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半S=21ab)二、例题讲解考点一：菱形的判定例1：下列命题正确的是（）ABCDE2（A）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形（B）对角线相等的四边形一定是矩形（C）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形练习1：菱形的对角线具有()A．互相平分且不垂直B．互相平分且相等C．互相平分且垂直D．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形C．四边形MBON和四边形MODN都是菱形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A．若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是()A．DE是△ABC的中位线B．AA是BC边上的中线C．AA是BC边上的高D．AA是△ABC的角平分线ABCDEA练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①ACBD②90BAD③ABBC④ACBDA．①③B．②③C．③④D．①②③DBCANMO3例2：已知AD是△ABC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是什么四边形？请说明理由．变化：若D是等腰三角形底边BC的中点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于G，交AC于E，过E作EF⊥BC于F，试说明四边形AEFG是菱形．练习2：如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H，交CB延长线于点F，交AB于点G，求证：AB与EF互相平分。ABCDCADBEFGHGFEDCBAABCDFEABDCFE4练习3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形。考点二：菱形的性质例1：如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F分别是AC、AB的中点，且∠DEA＝∠ACB＝45°，BG⊥AE于G，求证：（1）四边形AFGD是菱形；（2）若AC＝BC＝10，求菱形的面积。练习1：如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE⊥AB，AB＝4，求：（1）∠ABC的度数；（2）菱形ABCD的面积。FEDCBAEDCBAGFEDCBA5例2：如图5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，306ACDBD°，．（1）求证：△ABD是正三角形；（2）求AC的长（结果可保留根号）．练习1：若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为()A．23cm2B．23cmC．22cmD．223cm练习2：若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（）（A）43cm（B）83cm（C）163cm（D）203cm练习3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是()A．21㎝B．22㎝C．23㎝D．24㎝例3：如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A．210cmB．220cmC．240cmD．280cmABCDODCBA6练习1：菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）A．24cmB．32cmC．40cmD．60cm练习2：若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm练习3:若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为()A．240cm2B．120cm2C．60cm2D．30cm2例4:如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°求∠CEF的度数。练习1:如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC．CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．32B．33C．34D．3ADFCEBFDCBAE7BCADO练习2：如图，在菱形ABCD中，60A°，E、F分别是AB、AD的中点，若2EF，则菱形ABCD的边长是_____________．练习3：如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数。例5：如图，菱形ABCD是边长为13cm，其中对角线AC=10cm，求（1）菱形ABCD的面积；（2）作BC边上的高AH，求出AH的长度8BCADO练习1：如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．例6：已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。练习1：如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=21∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。HGFEDCBA9练习2：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．考点三：综合例1：如图，菱形111ABCD的边长为1，160B；作211ADBC于点2D，以2AD为一边，做第二个菱形222ABCD，使260B；作322ADBC于点3D，以3AD为一边做第三个菱形333ABCD，使360B；依此类推，这样做的第n个菱形nnnABCD的边nAD的长是．例2：菱形ABCD的对角线交于O，AO=1，且∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD的周长是8，其中正确的有（）A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③④⑤D．①②③1D1B33AC2B2C3D3B1D2C1ABCDO10例3：如图所示，在RtABC△中，90ABC∠．将RtABC△绕点C顺时针方向旋转60得到DEC△，点E在AC上，再将RtABC△沿着AB所在直线翻转180得到ABF△．连接AD．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？课后练习:1、若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是。2、如图1，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20B．15C．10D．53、菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．ADFCEGBBACD114、如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35°B．45°C．50°D．55°5、已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.（1）求证：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．第21题图ABCDEFMADCEBADEPCBF