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第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.4数系的扩充与复数的引入第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.4数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考基础梳理1.复数的有关概念第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考内容意义备注复数的概念形如_______________的数叫复数,其中实部为___,虚部为____若_______,则a+bi为实数,若____________,则a+bi为纯虚数复数相等a+bi=c+di⇔____________(a、b、c、d∈R)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔________________________复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面,x轴叫________,y轴叫________实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的模r叫作复数z=a+bi的模|z|=|a+bi|=___________a+bi(a,b∈R)abb=0a=0且b≠0a=c且b=da=cd=-b(a,b,c,d∈R)实轴虚轴a2+b2OZ→第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考思考感悟任意两个复数都能比较大小吗?提示:不一定,只有这两个复数全是实数时才能比较大小.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考2.复数的几何意义复数z=a+bi与复平面内的点_________与平面向量OZ→(a,b∈R)是一一对应的关系.Z(a,b)第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_______________________②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_______________________③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=_______________________(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考④除法:z1z2=a+bic+di=a+bic-dic+dic-di=___________________(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3∈C,都有z1+z2=___________,(z1+z2)+z3=_________________.ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2iz2+z1z1+(z2+z3)第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考(3)乘法的运算律z1·z2=_______(交换律),(z1·z2)·z3=___________(结合律),z1(z2+z3)=__________(乘法对加法的分配律).(4)正整数指数幂的运算律zm·zn=_________,(zm)n=_______,(z1z2)n=__________(m,n∈N+).z2·z1z1·(z2·z3)z1z2+z1z3zm+nzmnz1n·z2n第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考1.(2010年高考北京卷)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案:C课前热身第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考2.i是虚数单位,i(1+i)等于()A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i答案:D第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考答案:A3.(2010年高考湖南卷)复数21-i等于()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考4.(教材习题改编)已知z1=2-i,z2=a+bi(a,b∈R),且z1·z2=1,则z2的共轭复数对应的点位于第________象限.答案:四5.复数2i2+i3的虚部为________.答案:45第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考点突破复数的概念复数的概念在考试中常出现的类型有:(1)复数概念的辨析;(2)复数的有关分类;(3)复数相等条件的应用;(4)复数与复平面的对应关系.对于具体题目可结合选项一一分析作答.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考(1)(2009年高考江苏卷)若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为______.(2)(2009年高考陕西卷)已知z是纯虚数,z+21-i是实数,那么z等于()A.2iB.iC.-iD.-2i例1第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考(3)(2010年高考陕西卷)复数z=i1+i在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【思路点拨】正确理解复数的概念,即对于z=a+bi(a,b∈R),其实部为a,虚部为b.(1)中首先对算式进行四则运算,化为最简形式,再确定其实部;(2)要根据z是纯虚数,设出z,代入z+21-i,根据其为实数列方程解决;(3)要把z化为最简形式,再根据复数的几何意义求解.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考【解析】(1)因为(z1-z2)i=(-2+20i)i=-20-2i,所以可知复数(z1-z2)i的实部为-20.(2)设z=yi(y∈R,且y≠0),则yi+21-i=2-y+y+2i2∈R,∴2+y=0,则y=-2,∴z=-2i,故选D.(3)因为z=i1+i=i1-i1+i1-i=1+i1+1=12+12i,所以其对应的点(12,12)位于第一象限,故选A.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考【答案】(1)-20(2)D(3)A【规律小结】(1)复数的分类:复数a+bi(a,b∈R)实数b=0虚数b≠0纯虚数a=0非纯虚数a≠0(2)在复平面内,实数全部落在实轴即x轴上,纯虚数在除原点外的虚轴即y轴上,而其他复数均在四个象限内.在第一象限a0,b0;第二象限a0,b0;第三象限a0,b0;第四象限a0,b0.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考变式训练1当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内?第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考解:(1)若z为纯虚数,则lgm2-2m-2=0,m2+3m+2≠0.解得m=3.(2)若z为实数,则m2-2m-20m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2.(3)若z的对应点在第二象限,则lgm2-2m-20,m2+3m+20.解得-1m1-3或1+3m3.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、乘法运算,而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算.复数的代数运算第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考【思路点拨】运用复数的四则运算法则求解.(1)(2010年高考重庆卷)已知复数z=1+i,则2z-z=________.(2)(2010年高考广东卷)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i例2第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考【答案】(1)-2i(2)A【方法总结】复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,将结果写成a+bi的形式.【解析】(1)2z-z=21+i-(1+i)=21-i1+i1-i-(1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.(2)z1·z2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i2=4+2i.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考变式训练2计算:(1)-1+i2+ii3;(2)1+2i2+31-i2+i;(3)1-i1+i2+1+i1-i2;(4)1-3i3+i2;(5)(1+i2)2009+(1-i2)2009.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考解:(1)-1+i2+ii3=-3+i-i=-1-3i.(2)1+2i2+31-i2+i=-3+4i+3-3i2+i=i2+i=i2-i5=15+25i.(3)1-i1+i2+1+i1-i2=1-i2i+1+i-2i=1+i-2+-1+i2=-1.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考(4)1-3i3+i2=3+i-i3+i2=-i3+i=-i3-i4=-14-34i.(5)(1+i2)2009+(1-i2)2009=122009[(1+i)2008·(1+i)+(1-i)2008·(1-i)]=122009[(2i)1004·(1+i)+(-2i)1004·(1-i)]=12[(1+i)+(1-i)]=2.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考结合复数的几何意义、运用数形结合的思想,可把复数、解析几何有机地结合在一起,达到了学科内的融合,而且解题方法更灵活.复数运算的几何意义第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考已知复数z满足|z|=1,求|z-(1+i)|的最大值与最小值.【思路点拨】|z|=1⇒复数z对应的点是以原点为圆心,1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.例3第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考【解】法一:因为|z|=1,所以z是单位圆x2+y2=1上的点,而|z-(1+i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离.所以最大值为0-12+0-12+1=2+1,最小值为0-12+0-12-1=2-1.第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考法二:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,令x=cosθ,y=sinθ,则|z-(1+i)
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