立体几何中的翻折与展开问题

立体几何的综合问题立体几何中的翻折与展开问题│主干知识整合一、折叠问题1．概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题．2．折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系④______________.二、展开问题将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究．1.关于折叠问题，下列说法正确的是(A)①翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变；②翻折前后同在一个平面内的几何图形的度量结果不变；③翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可能变化；④翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系肯定变化．A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，从顶点A经过正方体表面到顶点C1的最短距离是()A．22aB.5aC．(2＋1)aD.3a【解析】利用立体几何的侧面展开图，将空间问题转化为平面问题：以为BB1为轴，将平面ABA1B1折到与BCB1C1共面的A′BA′1B1位置．如图A′C1的长即为所求最短距离，计算得A′C1＝5a.所以选B.4.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°.5.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于90°.【解析】折叠后图形如图所示：易知∠AEB＝45°，∠ABE＝90°，所以AB＝BE.取AE的中点Q，连接MQ、BQ，因为MQ∥DE，MQ＝12DE，│要点热点探究►探究图形翻折问题将平面几何图形翻折成空间几何体，会带来线段的长度和角度的变化，从而影响线面位置关系，解这类问题关键是需要分清楚翻折前后的变化，需要一定的空间想象能力．例1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F(如图21－2(1))，将此梯形沿EF折成一个直二面角A－EF－C(如图21－2(2))．(1)求证：BF∥平面ACD；(2)求多面体ADFCBE的体积．图21－2要点热点探究【解答】(1)证明：连结EC交BF于点O，取AC中点P，连结PO，PD，可得PO∥AE，且PO＝12AE，而DF∥AE，且DF＝12AE，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四边形DPOF为平行四边形，所以FO∥PD，即BF∥PD，又PD⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，所以BF∥平面ACD.│要点热点探究(2)因为二面角A－EF－C为直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE，又BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE＝E，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱锥C－ABE的高，同理可证CF是四棱锥C－AEFD的高，所以多面体ADFCBE的体积V＝VC－ABE＋VC－AEFD＝13×12×2×2×2＋13×12(1＋2)×2×2＝103.专题二十一│要点热点探究【点评】对于翻折问题，通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变．异侧就会发生变化，如本题中折痕所在直线为EF，故线段AB，DC的长度有明显变化，∠DFC，∠AEB也从平角变成直角．│要点热点探究已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面BDC，并说明理由．图21－4│要点热点探究【解答】(1)证明：由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，且AE∩EC＝E，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC，又BC⊥CE，且DE∩CE＝E，∴BC⊥平面DCE，(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD，又FH∩GH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∴GF∥平面BCD.│要点热点探究(3)分析可知，R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面BDC.证明如下：取BD中点Q，连结DR、BR、CR、CQ、RQ，容易计算CD＝2，BR＝52，BD＝22，CR＝132，DR＝212，CQ＝2，在△BDR中，∵BR＝52，DR＝212，BD＝22，可知RQ＝52，∴在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，∴CQ⊥RQ，又在△CBD中，CD＝CB，Q为BD中点∴CQ⊥BD，又BD∩RQ＝Q，∴CQ⊥平面BDR，∴平面BDC⊥平面BDR.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，EF∥BC，且AE＝2EB，G为BC的中点，K为△ADF的外心，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A－EF－B，求此时KG的长．素材3【解析】K为Rt△ADF的外心，所以K为AF的中点，取EF的中点为H，连接KH、HG、KG，则KH⊥EF，HG⊥EF，所以∠KHG为二面角A－EF－B的平面角，即∠KHG＝120°.又KH＝12AE＝1，HG＝1，所以KG＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，所以KG的长为3.二图形的展开问题【例2】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝2，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为__________．【分析】分类讨论，①若把面ABB1A1和面B1C1CB展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得EF的长度．②若把面ABB1A1和面A1B1C1展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得EF的长度．③若把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得EF的长度．以上求出的EF的长度的最小值即为所求．【解析】直三棱柱底面为等腰直角三角形，①若把面ABB1A1和面B1C1CB展开在同一个平面内，线段EF就在直角三角形A1EF中，由勾股定理得EF＝A1E2＋A1F2＝1＋3222＝222.②若把面ABB1A1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，则线段EF就在直角三角形EFG中，由勾股定理得EF＝EG2＋GF2＝2＋1＋222＝14＋422.【点评】图形的展开问题通常情况下是将空间问题转化到平面问题来处理，本题中没有确说明是怎样展开的，故需要分类讨论．如图所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短，则AP＋D1P的最小值为()A．2B.2＋62C．2＋2D.2＋2素材2【解析】如图，将△A1AB所在平面翻折到平面A1A′B，使得平面A1A′B与平面A1BCD1重合．在△A′PD1中，因为PA＋PD1＝PA′＋PD1≥A′D1，所以A′D1为AP＋D1P的最小值．而A′D21＝A1D21＋A1A′2－2·A1D1·A1A′·cos∠A′A1D1，故A′D21＝12＋12－2×1×1×cos135°＝2＋2.所以A′D1＝2＋2.