数学物理方程(谷超豪)第二章-热传导方程习题解

11.ldsdtuukdQ)(11-=ρckux),(txuu=42lπStttΔ+xxxΔ+txsxuktsxuktsxukdQxxxxΔΔ∂∂=Δ∂∂-Δ∂∂=Δ+221tttΔ+xxxΔ+()()txsuulktxluukdQΔΔ--=ΔΔ--=111124πtttΔ+xxxΔ+()()[]txstucxstxuttxucdQtΔΔ∂∂=Δ-Δ+=ρρ,,3()txsuulktxsxuktxstucxtΔΔ--ΔΔ∂∂=ΔΔ∂∂11224ρtxsΔΔ0→Δx0→Δt()11224uulkxuktuc--∂∂=∂∂ρ()()11222112244uulckxuauulckxucktu--∂∂=--∂∂=∂∂ρρρρcka=22.sΩ1t2tdsdtnuDdM∂∂-=D∫∫∫∂∂=21ttsdsdtnuDMu2u()()[]∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,ttttdvdttuCdtdvtuCdxdydztzyxutzyxuCM∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=21211ttttdvdttuCMdvdtzuDzyuDyxuDxMC=1=C21,,ttΩ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂zuDzyuDyxuDxtuC3.()()tQ0QQdtdQβ-=βcρkuQdtdQβ-=00QQt==()teQtQβ-=0teQββ-071(1.7)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛-=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρρββckaecQzuyuxuatut2022222224.0u:()2201224.0ρωρωρcriuucPkxucktu+--∂∂=∂∂irωk71(1.7)(1.8)()txfxuatu,222+∂∂=∂∂()()()txFctxFtxfcka,,/,,,2ρρ==i()txF,122/24.0ωriωriωri2ω/24.02ri0.2422/24.0ωri()()014uulk--llllp44/2==ππω()()012,uupktxF--=ω()()()txFtxFtxF,,,21+=()txfxuatu,222+∂∂=∂∂()22012224.0ρωρωρcriuucPkxucktu+--∂∂=∂∂5*.u---(Stefan-Boltzman)4udsdtudQ4σ=),,,(tzyxf,§,|41dsdtudQsσ=,|42dsdtfdQsσ=]||[|44sssfunuk-=∂∂σ§21⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=∂∂)0()()0,()0(0),(),0(0,0()222πππxxfxuttxutuxtxuatu)()(tTxXu=⎪⎩⎪⎨⎧=+′=′==+00)(0)0(02TaTXXXXλπλ)(xXxnxXnnn212sin)(,4)12(2+=+=λ),1,0(L=ntnanneCtT4)12(22)(+-=∑∞=+-+=04)12(212sin),(22ntnanxneCtxu∑∞=+=0212sin)(nnxnCxf∫+=ππ0212sin)(2xdxnxfCn∑∫∞=+-+⋅+=004)12(212sin212sin)(2),(22ntnaxnednftxuπξξξπ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-≤=∂∂=∂∂)0(0),1(),0(1211210)0,()10,0(22ttutuxxxxxuxtxutu)()(tTxXu=⎩⎨⎧=+===+0'0)1()0(0TTXXXXλλ)(xXxnXnnnππλsin,22==n=1,2,tnnneCT22π-=∑∞=-=1sin),(22ntnnxneCtxuππ∑∞=⎪⎩⎪⎨⎧-≤=11211210sinnnxxxxxnCπ∫∫-+=210121]sin)1(sin[2xdxnxxdxnxCnππ1212221022]sin1cos)1(1[2]sin1cos1[2xnnxnxnxnnxnxnππππππππ---++-=2sin422ππnn=∑∞=-=122sin2sin4),(22ntnxnenntxuππππllxx==,0),()0,(xfxu=)(xf0u0),(utxu=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂∂∂=∂∂===)(|0||00222xfuxuxuxuatutlxx)()(tTxXu=⎩⎨⎧=+===+0'0)(')0('02TaTlXXXXαλλ)(xX)1(0λxxBeAexXλλ---+=)(xxeBeAxXλλλλ------=)('⎩⎨⎧=---=------00leBeABAlλλλλλλ0≠-λ⎩⎨⎧=-=----00llBeAeBAλλBA,)(xX011=-----lleeλλ011≠-=--------lllleeeeλλλλ,0,0-λlxe)(xX)2(0=λaxXbaxxX=+=)(')(0)(')0('===alXXb1)(≡xX)3(0λxBxAxXxBxAxXλλλλλλcossin)('sincos)(+-=+=⎩⎨⎧=+-===0cossin)('0)0('lBlAlXBXλλλλλ,0≠λ⎩⎨⎧==0sin0lABλ)(xX,0≠A,0sin=lλ)(nnlπλ=)(nlnπλ=)1(cos)(==AxlnxXπn)(xXLLLL,2,1cos)(,2,1)(2=====nxlnxXnlnlnnππλπλ,1)(,00==xXλT00)(CtT=,)(2lnπλ=,cos)(xlnxXnπ=TtlannneCtT2)()(π-=∑∞=-+=1)(0cos),(2ntlannxlneCCtxuππ∑∞=-⋅=0)(cos2ntlannxlneCππ∑∞==0cos)(nnxlnCxfπ∫=ldxxflC00)(1∫=lnxdxlnxflC0cos)(2πLL,2,1=n∫∑∫∞=-⋅+=lnltlanxlnedlnfldxxfltxu010)(coscos)(2)(1),(2πξξπξπconstuxf==0)(0cos2,1000000====∫∫xdxlnulCudxulClnlπL,2,1=n0),(utuu=4,0tlx0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--∂∂=∂∂)()0,(),(),0()(002222xfxuutlutuuuxutuβα0,,uβα)(xf[.),(0tetxvuuβ-+=]tetxvuuβ-+=),(0),(txv⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====∂∂=∂∂===000222)(0,0uxfvvvxututlxxαxlneAtxvtlnnnππαsin),(2)(1-∞=∑=xlnAuxfnnπsin)(10∑∞==-xdxlnuxflAln∫-=00sin])([2πtetxvutxuβ-+=),(),(0xlnedlnuflutlnnlπξξπξβπαsinsin])([2])[(10002+-∞=∑∫-+=5lo00=x0ulx=o0),(txu⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+∂∂=-∂∂=∂∂=0)0,(0][,),0(02222xuHuxuutuubxuatulx),(txu),()(),(txwxvtxu+=w)(xv⎪⎩⎪⎨⎧=+==-=0)(,)0(01'02222xHvvuvvbdxvda)(xvxabBshxabAchxv+=)(0)0(uAv==)()(0'xabBchxabshuabxv+=0)()(00=+++labBshlabchuHlabBchlabshuab)()(0labHashlabbchlabHachlabbshuB++-=)()()(00labHashlabbchxabshlabHachlabbshuxabchuxv++-=)()]()([0labHashlabbchxlabHashxlabbchu+-+--=),(txw⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==+∂∂=-∂∂=∂∂====vvwHwx)(,0)()(),(tTxXtxw=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+0)(0)()(),0(022''''TbaTlHXlXXXXλλ0)(λoxXxBxAxXλλsincos)(+=00)0(===AAX0sincos(cos)(sin)('=+==lHlBxBxXxBxXλλλλλλ0≠B0sincos=+lHlλλλHltgλλ-=HlPl==,μλptgμμ-=LL,,,21μμ22,sin)(lxlxXnnnnμλμ==TtblannneAtT)(2222)(+-=μxleAtxwntblannnμμsin),()(12222+-∞=∑=nμHlpptg=-=μμlabHashlabbchxlabHashxlabbchvxlAnnn+-+--=-=∑∞=)]()([sin01μμ∫∫-=lnlnnxdxlxdxlvA020sinsinμμnμ∫+++=lnnnppplxdxl02222)1([2sinμμμ⎢⎣⎡-+=-∫labchllabxdxlxlabchnnln(1sin)(22220μμμlnnxlxabshabxlx0sin)1(cos)⎥⎦⎤---μμ)cos(222222labchlllbalannnnμμμμ+-+=)(cos222222labchlbalannn-+-=μμμ⎢⎣⎡-+=-∫labchablbaxdxlxlabshnln(1sin)(22220μμlnnnxalxabshlxlx0cos)1(sin)⎥⎦⎤---μμμ)sin(222222labshlablbalannnμμμ+-+=[+-+-=-∫nnnlnblbalauxdxvμμμμcossin2222200labJasjlabbchlabshHalHblabchbnnn+⎥⎦⎤+-(sinμμμ)()sincos(222220222220labHashlabbchlHlbalbaulbalaunnnnnn+--+-+-=μμμμμμ222220lbalaunn+-=μμ)(Hltgnnμμ-=Q)()()(22222222220nnnnnpplbapauAμμμμ++⋅++⋅-=⋅-+-+-=laulabHashlabbchxlabHashxlabbchutxu2002)()(),(∑∞=+-⋅++++1)(222222222sin))(()(2222nntnnnnxlblapplbapenμμμμμμnμ)(Hlpptg=-=μμwvu+=.0)(,),0(|0=+∂∂==lzHwxwutw,baxw+=0)(,00=++=ualHaub⎪⎩⎪⎨⎧=+-=001ubHlHua)11(1000HlHxuxHlHuuw+-=+-=v⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-==+∂∂=+---∂∂=∂∂=)11()0,()0,(0)(0),0()11(0022222|HlHxuxwxvHvxvtvHlHxubvbxvatvix)()(),(1xxtTtxvnnn∑∞==)(xxn),,(sin)(Hlpputgulukxkxxnnnnnn=-===∑∞==1sin)(),(nnnxktTtxv)11(sin)(102222'HlHxubxkTbTkaTnnnnnn+--=++∑∞=}{sinxkn)11(02HlHxub+--}{sinxkn∑∞==+--102sin)11(nnnxkAHlHxub∫+--=lnnNxdxkHlHxubA002/sin)11(∫++==lnnnHkHlxdxkN0222)(22sin---=+--∫xkkubxdxkHlHxubnnnlcos1{sin)11(02020|022]}sin1cos1[1lnnnkxkxkxkHlH+-+--++--=lkHkHllkkkubnnnnncos)1(cos11[02]sin)1(2lkHlkHnn+-)]1111(cos11[0